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系统性交互课
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离散数学

从集合、逻辑、布尔代数与证明出发，系统学习计数、递归、数论、概率、树、图与有限状态模型，为计算机科学和数学中的离散结构建立扎实基础。

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章节目录

第 1 章：离散世界与集合

•
1.1 离散数学研究什么
•
1.2 集合、子集与幂集
•
1.3 集合运算与笛卡尔积

第 2 章：逻辑与布尔代数

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2.1 命题与逻辑联结词
•
2.2 真值表、蕴含与等价
•
2.3 谓词与量词
•
2.4 布尔代数、逻辑门与电路

第 3 章：证明

•
3.1 定义、猜想与反例
•
3.2 直接证明、分情况证明与逆否证明
•
3.3 反证法、存在性与唯一性
•
3.4 数学归纳法与强归纳法

第 4 章：函数、关系与序

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4.1 函数、复合与逆
•
4.2 二元关系及其性质
•
4.3 等价关系与划分
•
4.4 偏序与哈斯图

第 5 章：算法与增长

•
5.1 用伪代码描述算法
•
5.2 正确性与不变量
•
5.3 步数统计与渐近增长

第 6 章：计数

•
6.1 加法、乘法与双射原理
•
6.2 排列与组合
•
6.3 鸽巢原理
•
6.4 二项式定理与容斥原理

第 7 章：递归与递推关系

•
7.1 递归定义与结构归纳法
•
7.2 线性递推关系
•
7.3 分治递推与递归树

第 8 章：数论与密码学

•
8.1 整除、素数与因数分解
•
8.2 最大公约数、欧几里得算法与贝祖等式
•
8.3 模运算、逆元与中国剩余定理
•
8.4 构建一个小型 RSA 系统

第 9 章：离散概率

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9.1 样本空间与计数概率
•
9.2 条件概率与独立性
•
9.3 贝叶斯定理
•
9.4 离散随机变量与期望

第 10 章：树

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10.1 树的性质、根树与二叉树
•
10.2 树的遍历与表达式树
•
10.3 前缀编码、哈夫曼树与决策树

第 11 章：图

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11.1 图模型、表示方法与度
•
11.2 游走、路径、环与连通性
•
11.3 广度优先、深度优先与最短路径
•
11.4 生成树与最小生成树
•
11.5 欧拉问题与哈密顿问题
•
11.6 图着色与平面性

第 12 章：有限状态模型与综合项目

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12.1 有限状态机
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12.2 综合项目：建模并优化智慧城市网络

适合人群

适合计算机科学、软件工程、数学、数据科学及相关专业的初学者，也适合希望补足逻辑、证明和离散结构基础的自学者。只需具备基础代数知识，不要求微积分或编程经验。

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