3.1 定义、猜想与反例
第 2 章为命题建立了精确语言：命题具有真值，蕴含包含前提与结论，量词说明命题讨论每个对象还是至少一个对象。第 3 章要回答下一个问题：
> 怎样说明一个数学命题确实为真？
证明（proof）是从公认的起点出发，经过有限个有理由支持的步骤，最终到达结论的推理链。证明不取决于测试了多少例子，也不取决于一张图看起来多么可信。每一步都必须来自定义、已经得到的结果、明确假设或有效逻辑规则。
本节先准备证明的原材料：
- 定义准确规定数学术语的含义；
- 例子帮助我们理解和检验定义；
- 猜想是等待研究的命题；
- 反例用来推翻全称命题。
定义是双向的成员资格规则
数学定义（definition）划出一个边界，说明哪些对象属于某一类别，哪些对象不属于。
整数 是偶数，是指存在某个整数 ，使
“存在整数 ”不能省略。对 ，取 ，就有 ，所以 是偶数。对 ，方程 给出 ，它不是整数，因此不能用来说明 为偶数。
整数 是奇数，是指存在某个整数 ，使
例如，，所以 是奇数。负整数也适用同一定义：，因此 是奇数。
定义可以双向使用：
- 如果 是偶数，就能写成某个整数 对应的 ；
- 如果某个整数 使 ，那么 就是偶数。
这就是定义经常具有双条件含义的原因。要证明对象属于某个类别，必须构造出定义要求的形式；已经知道对象属于该类别时，则可以展开定义并取得这种形式。
整除定义中需要一个见证
对整数 、，且 ，若存在整数 使
就称 整除 ，记作
整数 是整除关系的见证。因为 ，所以 。不存在整数 使 ，所以 。
不要把 与分数 混淆。竖线在这里表示“整除”关系。
质数定义中的每个条件都不可缺少
正整数 是质数，是指
并且它的正因数只有 与 本身。
的正因数恰好是 ，所以 是质数。 还有额外正因数 ，因此不是质数。 不满足 ，所以也不是质数。
漏掉任何条件都会改变类别。“一个数能被 和自身整除”并不能定义质数，因为每个正整数都满足这两项。检验定义时必须查看边界和反常情况，而不能只看最顺手的例子。
锻造炉会报告两类定义错误。假阳性是被候选定义接纳、实际上却不是质数的数；假阴性是质数，却被候选定义拒绝。正确的定义必须同时避免两种错误，这正对应“当且仅当”的两个方向。
例子用于探索定义，但不能代替证明
例子（example）是满足定义或命题的具体对象；非例（non-example）是不满足它的具体对象。二者都能帮助我们看清边界。
假设要研究命题
代入 ，得到 ，它们都是奇数。这些测试很有价值：
- 它们能检查命题是否看起来合理；
- 它们可能暴露证明所需的代数模式；
- 它们也可能立即揭示错误。
但是，这些例子没有覆盖每个奇数。奇数有无限多个。即使计算机检查一百万个例子，仍然有无限多个例子尚未检查。
后面的正式证明会从任意奇数 出发，说明它的平方具有 的形式。任意表示没有选择特殊的 ，因此推理适用于每个满足前提的对象。
猜想是等待证明或推翻的命题
猜想（conjecture）是在当前研究中被认为可能为真、但还没有得到证明的数学命题。
一个负责任的猜想应明确写出：
1. 变量的论域；
2. 全部前提；
3. 准确结论。
例如：
> 对每个正整数 ，如果 能被 整除，那么 是偶数。
论域是正整数，前提是 ，结论是 为偶数。
“倍数都是偶数”既错误又含糊：究竟是谁的倍数？讨论哪个论域？精确表达不是装饰，而是证明能够开始的前提。
一个反例就能推翻全称命题
对全称蕴含
若对象 同时满足
就称 是该命题的反例（counterexample）。这正是第 2.2 节中蕴含唯一失败的真值行。
考虑猜想：
> 每个质数都是奇数。
属于质数论域，但 不是奇数。因此， 是反例，猜想为假。
论域之外的值不能成为反例。 是偶数，却不能推翻“每个质数都是奇数”，因为 根本不是质数。发现结论失败时，不要马上庆祝，还要先检查前提是否成立。
搜索与证明具有不同的停止条件
搜索反例时：
- 找到一个有效反例，就能结束并推翻命题；
- 没有找到反例，不能据此证明命题；
- 大规模搜索可以增强信心或提示模式，但一般性结论仍需要证明。
有些真命题不会出现反例；有些假命题的第一个反例藏得很远。例如，
在许多较小正整数上都是质数，但当 时，
它不再是质数。
雷达会分开检查两件事：所选数值必须属于猜想的论域，并且结论必须失败。请捕获错误猜想的反例，再测试恒为偶数的 ，观察“搜索不到反例”为什么仍然不是证明。
通向下一节
现在，我们已经能够展开定义、写出精确猜想，并用反例推翻全称命题。若猜想经受住测试，就需要一般性论证。第 3.2 节先学习直接证明，再把分情况证明和逆否证明作为从前提走向结论的不同路线。