4.1 函数、复合与逆函数

第 3 章训练了两种习惯：逐字阅读定义，并证明定义要求的每个条件。现在我们把这种习惯用在一种已经不陌生的结构上：输入进入一个过程，过程产生输出。

计算器按键、把用户名转换成账户编号的程序、给每位学生指定毕业年份的规则，都具有函数的直观形态。不过，“函数”有严格含义。我们会从第 1 章学过的集合和有序对出发，一步一步建立这个定义。

从有序对到函数

设 $A$ 和 $B$ 是集合。回忆笛卡尔积

A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\text{ 且 }b\in B\},

它包含所有第一项来自 $A$ 、第二项来自 $B$ 的有序对。

从 $A$ 到 $B$ 的一个关系，就是 $A\times B$ 的任意子集。从 $A$ 到 $B$ 的一个函数，则是一种满足下面两条规则的特殊关系：

1. $A$ 的每个元素都必须在某个有序对中担任第一项；

2. $A$ 的每个元素必须且只能与 $B$ 中的一个元素配对。

我们写成

f:A\to B,

读作“ $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的函数”。集合 $A$ 称为定义域，集合 $B$ 称为陪域。若有序对 $(a,b)$ 属于这个函数，通常写成

f(a)=b.

真正作为输出出现过的值组成值域：

\operatorname{range}(f)=\{f(a)\mid a\in A\}.

值域一定是陪域的子集，但不一定等于陪域。

一个有限集合上的例子

令

A=\{1,2,3\},\qquad B=\{p,q,r,s\},

并定义

f=\{(1,q),(2,q),(3,s)\}.

$A$ 中每个元素都有且只有一个输出，所以 $f$ 是函数。定义域是 $A$ ，陪域是 $B$ ，而值域为

\operatorname{range}(f)=\{q,s\}.

虽然 $p$ 和 $r$ 没有被取到，它们仍然属于陪域 $B$ ，只是没有进入值域。

再比较两个不合格的关系：

R_1=\{(1,p),(2,q)\}

不是从 $A$ 到 $B$ 的函数，因为输入 $3$ 没有输出；而

R_2=\{(1,p),(1,q),(2,r),(3,s)\}

也不是函数，因为输入 $1$ 有两个输出。多个输入可以共享一个输出，但单个输入不能分裂成多个输出。

单射、满射与双射

确认一个映射确实是函数后，还可以检查它怎样使用陪域中的元素。

函数 $f:A\to B$ 称为单射，如果不同输入一定得到不同输出：

\forall x_1,x_2\in A,\quad f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2.

它的逆否形式更容易从箭头图中观察：

x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2).

在单射的箭头图中，不会有两个定义域元素把箭头指向同一个陪域元素。

函数称为满射，如果陪域中的每个元素都被取到：

\forall y\in B,\quad \exists x\in A\text{ 使得 }f(x)=y.

等价地，

\operatorname{range}(f)=B.

函数如果既是单射又是满射，就称为双射。这时陪域中的每个元素恰好收到一支箭头。

对于有限函数，可以依次做下面的审计：

检查问题	如果答案为“是”
每个定义域元素是否恰好有一支出发箭头？	它是函数
不同定义域元素是否不会共享输出？	它是单射
每个陪域元素是否都收到箭头？	它是满射
前两项性质检查是否同时成立？	它是双射

要特别注意：单射和满射都依赖题目指定的定义域与陪域。规则 $f(x)=x^2$ 作为 $\mathbb Z\to\mathbb Z$ 的函数不是单射，因为 $f(2)=f(-2)$ 。若把定义域限制为非负整数，这个碰撞才会消失。

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在映射传送带上为数据包改接输出。你可以留下断开的输入、制造分叉，也可以让多个输入碰撞。实时检测器会把“是否为函数”与单射、满射、双射分开判断，让每次改动影响了哪条定义清楚可见。

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函数复合把两台机器连接起来

设

f:A\to B \qquad\text{且}\qquad g:B\to C.

因为 $f$ 的输出属于 $B$ ，所以它可以继续作为 $g$ 的输入。两个函数的复合是函数

g\circ f:A\to C,

定义为

(g\circ f)(x)=g(f(x)).

最右边的函数先执行。这不是排版习惯，而是数据流的顺序：输入必须先经过 $f$ ，其结果才能交给 $g$ 。

让一个值通过流水线

令

f(x)=2x+1,\qquad g(y)=y^2.

当 $x=3$ 时，

3\xrightarrow{f}7\xrightarrow{g}49,

所以

(g\circ f)(3)=g(f(3))=g(7)=49.

把过程写成公式：

(g\circ f)(x)=g(2x+1)=(2x+1)^2.

交换两台机器会得到另一个函数：

(f\circ g)(x)=f(x^2)=2x^2+1.

例如，

(g\circ f)(1)=9, \qquad (f\circ g)(1)=3.

因此，函数复合通常不满足交换律：

g\circ f\ne f\circ g.

如果 $g$ 的输出集合根本不能作为 $f$ 的输入集合，交换顺序甚至没有定义。

恒等函数与逆函数

集合 $A$ 上的恒等函数把每个元素原样返回：

\operatorname{id}_A:A\to A,\qquad \operatorname{id}_A(x)=x.

它像一台什么都不改变的机器。对任意 $f:A\to B$ ，都有

f\circ\operatorname{id}_A=f \qquad\text{且}\qquad \operatorname{id}_B\circ f=f.

逆函数会撤销原函数的作用。如果 $f:A\to B$ 存在逆函数，就记作

f^{-1}:B\to A,

并且必须同时满足

f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \qquad\text{和}\qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B.

也就是说，对每个 $x\in A$ 和 $y\in B$ ，

f^{-1}(f(x))=x, \qquad f(f^{-1}(y))=y.

符号 $f^{-1}(x)$ 不表示倒数 $1/f(x)$ 。这里的上标 $-1$ 表示“撤销这个映射”。

为什么恰好是双射才可逆

如果 $f$ 不是单射，两个输入会碰撞到同一个输出。逆向机器收到这个输出时，无法判断应该还原成哪个输入。

如果 $f$ 不是满射，陪域里就存在从未被生成的 $y$ 。以整个 $B$ 为定义域的逆函数无法为这个 $y$ 找到原输入。

双射没有这两个问题：每个 $y\in B$ 都恰好对应一个 $x\in A$ 。因此

f\text{ 存在逆函数} \quad\Longleftrightarrow\quad f\text{ 是双射}.

例如，定义 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ ：

f(x)=3x-2.

为了求逆函数，先令 $y=3x-2$ ，再解出 $x$ ：

x=\frac{y+2}{3}.

最后把临时使用的输入字母 $y$ 换成 $x$ ，得到

f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3}.

检查两个复合方向：

f^{-1}(f(x)) =\frac{(3x-2)+2}{3} =x,

以及

f(f^{-1}(x)) =3\left(\frac{x+2}{3}\right)-2 =x.

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把代币送入两台动态机器，交换机器顺序，再尝试逆向返回。实验会显示每个中间值，并故意制造输入碰撞或无法到达的输出，让你亲自诊断逆函数为什么会失效。

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注意

复合前，要检查第一台函数的输出能否进入第二台函数的定义域。声称逆函数存在前，要相对于题目指定的集合同时检查单射和满射。

本节衔接

函数是带有“每个输入恰好一个输出”限制的关系。下一节将去掉这个限制，研究一般的二元关系。我们不再只问箭头是否构成函数，而会检查自环、成对箭头和多步路径等结构。

4.1 函数、复合与逆函数

从有序对到函数

设 $A$ 和 $B$ 是集合。回忆笛卡尔积

A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\text{ 且 }b\in B\},

它包含所有第一项来自 $A$ 、第二项来自 $B$ 的有序对。

从 $A$ 到 $B$ 的一个关系，就是 $A\times B$ 的任意子集。从 $A$ 到 $B$ 的一个函数，则是一种满足下面两条规则的特殊关系：

1. $A$ 的每个元素都必须在某个有序对中担任第一项；

2. $A$ 的每个元素必须且只能与 $B$ 中的一个元素配对。

我们写成

f:A\to B,

读作“ $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的函数”。集合 $A$ 称为定义域，集合 $B$ 称为陪域。若有序对 $(a,b)$ 属于这个函数，通常写成

f(a)=b.

真正作为输出出现过的值组成值域：

\operatorname{range}(f)=\{f(a)\mid a\in A\}.

值域一定是陪域的子集，但不一定等于陪域。

一个有限集合上的例子

令

A=\{1,2,3\},\qquad B=\{p,q,r,s\},

并定义

f=\{(1,q),(2,q),(3,s)\}.

$A$ 中每个元素都有且只有一个输出，所以 $f$ 是函数。定义域是 $A$ ，陪域是 $B$ ，而值域为

\operatorname{range}(f)=\{q,s\}.

虽然 $p$ 和 $r$ 没有被取到，它们仍然属于陪域 $B$ ，只是没有进入值域。

再比较两个不合格的关系：

R_1=\{(1,p),(2,q)\}

不是从 $A$ 到 $B$ 的函数，因为输入 $3$ 没有输出；而

R_2=\{(1,p),(1,q),(2,r),(3,s)\}

也不是函数，因为输入 $1$ 有两个输出。多个输入可以共享一个输出，但单个输入不能分裂成多个输出。

单射、满射与双射

确认一个映射确实是函数后，还可以检查它怎样使用陪域中的元素。

函数 $f:A\to B$ 称为单射，如果不同输入一定得到不同输出：

\forall x_1,x_2\in A,\quad f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2.

它的逆否形式更容易从箭头图中观察：

x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2).

在单射的箭头图中，不会有两个定义域元素把箭头指向同一个陪域元素。

函数称为满射，如果陪域中的每个元素都被取到：

\forall y\in B,\quad \exists x\in A\text{ 使得 }f(x)=y.

等价地，

\operatorname{range}(f)=B.

函数如果既是单射又是满射，就称为双射。这时陪域中的每个元素恰好收到一支箭头。

对于有限函数，可以依次做下面的审计：

检查问题	如果答案为“是”
每个定义域元素是否恰好有一支出发箭头？	它是函数
不同定义域元素是否不会共享输出？	它是单射
每个陪域元素是否都收到箭头？	它是满射
前两项性质检查是否同时成立？	它是双射

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函数复合把两台机器连接起来

设

f:A\to B \qquad\text{且}\qquad g:B\to C.

因为 $f$ 的输出属于 $B$ ，所以它可以继续作为 $g$ 的输入。两个函数的复合是函数

g\circ f:A\to C,

定义为

(g\circ f)(x)=g(f(x)).

最右边的函数先执行。这不是排版习惯，而是数据流的顺序：输入必须先经过 $f$ ，其结果才能交给 $g$ 。

让一个值通过流水线

令

f(x)=2x+1,\qquad g(y)=y^2.

当 $x=3$ 时，

3\xrightarrow{f}7\xrightarrow{g}49,

所以

(g\circ f)(3)=g(f(3))=g(7)=49.

把过程写成公式：

(g\circ f)(x)=g(2x+1)=(2x+1)^2.

交换两台机器会得到另一个函数：

(f\circ g)(x)=f(x^2)=2x^2+1.

例如，

(g\circ f)(1)=9, \qquad (f\circ g)(1)=3.

因此，函数复合通常不满足交换律：

g\circ f\ne f\circ g.

如果 $g$ 的输出集合根本不能作为 $f$ 的输入集合，交换顺序甚至没有定义。

恒等函数与逆函数

集合 $A$ 上的恒等函数把每个元素原样返回：

\operatorname{id}_A:A\to A,\qquad \operatorname{id}_A(x)=x.

它像一台什么都不改变的机器。对任意 $f:A\to B$ ，都有

f\circ\operatorname{id}_A=f \qquad\text{且}\qquad \operatorname{id}_B\circ f=f.

逆函数会撤销原函数的作用。如果 $f:A\to B$ 存在逆函数，就记作

f^{-1}:B\to A,

并且必须同时满足

f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \qquad\text{和}\qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B.

也就是说，对每个 $x\in A$ 和 $y\in B$ ，

f^{-1}(f(x))=x, \qquad f(f^{-1}(y))=y.

符号 $f^{-1}(x)$ 不表示倒数 $1/f(x)$ 。这里的上标 $-1$ 表示“撤销这个映射”。

为什么恰好是双射才可逆

如果 $f$ 不是单射，两个输入会碰撞到同一个输出。逆向机器收到这个输出时，无法判断应该还原成哪个输入。

如果 $f$ 不是满射，陪域里就存在从未被生成的 $y$ 。以整个 $B$ 为定义域的逆函数无法为这个 $y$ 找到原输入。

双射没有这两个问题：每个 $y\in B$ 都恰好对应一个 $x\in A$ 。因此

f\text{ 存在逆函数} \quad\Longleftrightarrow\quad f\text{ 是双射}.

例如，定义 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ ：

f(x)=3x-2.

为了求逆函数，先令 $y=3x-2$ ，再解出 $x$ ：

x=\frac{y+2}{3}.

最后把临时使用的输入字母 $y$ 换成 $x$ ，得到

f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3}.

检查两个复合方向：

f^{-1}(f(x)) =\frac{(3x-2)+2}{3} =x,

以及

f(f^{-1}(x)) =3\left(\frac{x+2}{3}\right)-2 =x.

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注意

复合前，要检查第一台函数的输出能否进入第二台函数的定义域。声称逆函数存在前，要相对于题目指定的集合同时检查单射和满射。