9.1 样本空间与计数概率

第 6 章教我们在不逐个列举的情况下统计对象。第 8 章又提到了难以预测的选择，例如在真实密码系统中选择秘密素数或使用随机填充。现在可以提出一个新问题：

> 当多个结果都有可能出现，而我们事先不知道究竟会出现哪一个时，怎样用计数来度量这种不确定性？

概率论首先要求我们准确描述所有可能结果。只有这一步完成以后，才能给事件赋予数值。

随机试验与结果

随机试验是可以重复进行、但事先不能确定结果的过程。掷骰子、从洗匀的牌中抽牌、从多台服务器中均匀随机选择一台，都是随机试验。“随机”并不表示“没有规则”，恰恰相反，我们必须先把试验规则说清楚。

一次试验得到的完整结果叫作一个结果。掷一枚六面骰子时，可能结果是点数 $1,2,3,4,5,6$。

包含全部可能结果的集合叫作样本空间，通常用希腊大写字母 $Omega$ 表示，读作“欧米伽”。掷一次骰子的样本空间为

花括号提醒我们：$Omega$ 是一个集合。每次实际投掷都会产生这个集合中的一个元素。

样本空间取决于我们记录什么。假设连续抛两次硬币。

• 如果先后顺序重要，那么 $HT$ 与 $TH$ 是不同结果，因此

• 如果只记录正面出现的次数，那么

这两个样本空间服务于不同的问题。在 $Omega'$ 中，三个结果并不等可能：一次正面可以由 $HT$ 或 $TH$ 产生，而零次正面只能由 $TT$ 产生。只因为某个样本空间看起来简洁就直接使用它，而不检查结果是否等可能，是概率问题中很常见的错误。

事件是结果组成的集合

具有某种共同性质的一组结果叫作一个事件。因此，事件就是样本空间的子集，可以写成

掷一次骰子，令 $A$ 表示“结果为偶数”，那么

当实际结果属于 $A$ 时，我们就说事件 $A$ 发生了。像 $\{4\}$ 这样只有一个结果的事件称为简单事件；包含多个结果的事件称为复合事件。

两个边界事件很重要：

• 不可能事件是空集 $\varnothing$，因为其中没有任何结果；
• 必然事件是 $Omega$，因为样本空间中总会有一个结果发生。

概率给事件赋予数值

事件 $A$ 的概率写作 $P(A)$，它是 $0$ 到 $1$ 之间的数：

两个端点的意义很明确：

概率越大，事件越有可能发生。概率 $1/2$ 并不保证事件严格地“每两次发生一次”，它描述的是模型预测的长期比例。

如果样本空间是有限的，而且每个基本结果都等可能，这类模型称为古典概型（classical probability model），也叫有限等可能模型。此时概率可以写成计数之比：

其中，$|A|$ 表示事件 $A$ 中结果的个数，$|\Omega|$ 表示样本空间中全部结果的个数。使用这个公式之前，必须确认“有限”和“等可能”两个条件。

对于骰子的偶数事件，

分子统计满足要求的结果，分母统计全部可能结果。

稳妥的计数概率步骤

在结果等可能时，可以按四步处理：

1. 明确一次结果究竟记录哪些信息。 2. 构造样本空间 $Omega$，或者统计它的大小。 3. 描述事件 $A$，并统计其中的结果。 4. 写出 $|A|/|\Omega|$ 并约分。

第一步最容易被忽略，却能避免大多数错误。如果试验中的顺序有意义，那么计数时也必须保留顺序。

用硬币、骰子或转盘拼装一个两阶段试验。实验室会把笛卡尔积变成结果地板，每个格子代表一个有序对。亲手涂出事件后，事件集合、元素个数与准确概率会同步变化。

多阶段试验使用乘法原理

现在同时掷一枚蓝色骰子和一枚金色骰子。一个结果必须同时记录两枚骰子的点数，因此它是有序对 $(b,g)$。样本空间为

这里的乘号表示第 1 章介绍过的笛卡尔积。根据第 6 章的乘法原理，

令 $S$ 表示“两枚骰子的点数和至少为 $10$”。按照第一坐标列举可得

所以

这里必须保留有序对。$(4,6)$ 与 $(6,4)$ 不同，因为蓝色骰子和金色骰子的结果发生了交换。

用集合运算组合事件

事件是集合，所以第 1 章的集合运算也有直接的概率含义。

• $A\cup B$ 表示“$A$ 发生，或 $B$ 发生，或二者都发生”。
• $A\cap B$ 表示“$A$ 与 $B$ 同时发生”。
• $A^c=\Omega\setminus A$ 是 $A$ 的补事件，表示“$A$ 不发生”。

$A$ 与 $A^c$ 把样本空间分成两个互不重叠的部分，因此

直接统计 $A$ 很麻烦时，统计补事件往往更简单。例如掷两枚骰子，令 $R$ 表示“至少一枚出现 $6$”。它的补事件是“两枚都不出现 $6$”。每枚骰子此时都有 $5$ 个允许点数，所以

从而

计算并事件时，如果直接把 $P(A)$ 与 $P(B)$ 相加，交集 $A\cap B$ 中的结果会被数两次。容斥公式负责减去这次重复：

它与第 6 章的计数容斥具有相同结构，只是现在度量的是概率，而不是对象个数。

理论概率与观测频率

根据模型算出的分数叫作理论概率。实际重复试验还会产生数据。若事件 $A$ 在 $N$ 次试验中发生了 $N_A$ 次，则它的相对频率为

符号上方的帽子用于区分观测估计 $\widehat P_N(A)$ 和模型数值 $P(A)$。

对于公平骰子，$P(6)=1/6$。但在 $12$ 次投掷中，我们完全可能看到 $4$ 次六点，此时

这不能立刻证明骰子不公平，小样本本来就可能波动。在相同条件下重复大量试验时，相对频率通常会逐渐稳定在理论概率附近。这种长期现象称为大数定律。本节只使用它的直观意义；严格定理还需要本节之外的知识。

还要注意两点：

1. 增加试验次数通常会减小波动，但并不保证频率与理论概率完全相等。 2. 模拟只能检验写入程序的模型。错误的样本空间或没有依据的等可能假设，不会因为多模拟几次就变正确。

经营一个可以重新配置奖区的概率嘉年华转盘。分批启动试验，观察累计相对频率留下的轨迹；再改变转盘结构，检查新轨迹是否会追随新的理论目标。

本节检查表

处理有限概率问题前，依次问自己：

• 一个结果记录了哪些信息？
• 样本空间是否恰好包含全部可能结果，没有遗漏也没有重复？
• 这些结果真的等可能吗？
• 哪个子集代表目标事件？
• 能否用补集、乘法计数或容斥避免冗长列举？
• 我是否区分了理论概率与观测频率？

到目前为止，所有概率都在原样本空间内计算。有时新信息会告诉我们，只有样本空间的一部分仍然可能。第 9.2 节将建立在这种限制下重新计算概率的规则。