2.2 二、八、十、十六进制转换

上一节把数定义为“数字乘位权”的贡献之和。进制转换不会改变数值，只会改变描述这个数值所使用的符号。

例如：

这四种写法表示同一个数量。

选择转换路线

不同的源底数与目标底数适合不同工具。

路线 1：位权展开为十进制

直接使用位权定义：

十六进制数字 D 的贡献是十三乘所在位权，并不是十进制数字串 13。

霍纳方法可以从左到右完成相同计算：

这种形式很适合程序实现：不断把累计值乘以底数，再加上下一个数字。

路线 2：用比特分组转换八进制和十六进制

由于 $8=2^3$，恰好三个二进制位对应一个八进制数字。由于 $16=2^4$，恰好四个二进制位对应一个十六进制数字。

转换十六进制时，从基数点向外每四位分为一组：

所以 $(101001011100)_2=(A5C)_{16}$。

转换八进制时，把同一串比特改为每三位一组：

所以 $(101001011100)_2=(5134)_8$。

如果最左侧分组不足，可以补前导零。补零不会改变数值。

实验 1——把同一比特模式翻译为三种写法

切换 12 位比特区域，完成十六进制、八进制和十进制任务。实验会同时重新划分三位组与四位组，但底层比特始终是同一组。

完成任务后，分别切换最低位和最高位，比较两次产生的数值变化。

路线 3：十进制整数使用重复除法

把非负十进制整数转换为底数 $b$：

1. 用 $b$ 除当前数值；

2. 记录余数，它是下一个最低有效数字；

3. 用商继续计算；

4. 商为零时停止；

5. 按产生顺序的反方向读取余数。

把 $173$ 转换为十六进制：

第一个余数是低位，所以要从下向上读取：

再用位权展开检查：

数值零是一个边界情况。重复除法不会进行正数迭代，但零的表示仍然是 0。

实验 2——按正确方向装配余数

改变十进制输入与目标底数。车间会生成全部“商—余数”行，但需要你按照正确顺序选择余数卡片。

尝试一个转换结果含有重复数字的数。即使符号相同，每张余数卡仍然来自不同步骤。

转换小数部分

对于小数，重复乘法是重复除法的镜像。

把十进制小数 $f$ 转换为底数 $b$：

1. 计算 $f\cdot b$；

2. 记录结果的整数部分，它是下一个从左到右的小数位；

3. 用新的小数部分继续。

把 $0.625$ 转换为二进制：

所以 $(0.625)_{10}=(0.101)_2$。

与整数余数不同，小数数字已经按照从高位到低位的顺序产生，不能再反转。

有些小数在目标底数中永远不会终止。定长系统必须在选定的位数后停止，并说明结果是近似值。

检查点

请选择能够提供检查方法的流程：

• 非十进制转十进制：展开位权；

• 十进制整数转底数 $b$：重复除法并反向读取余数；

• 十进制小数转底数 $b$：重复乘法并保持数字顺序；

• 二进制与八/十六进制互转：围绕基数点进行比特分组。

下一节会追问一个更深的问题：比特完成转换并存入机器后，最高位应当表示正位权，还是表示负号？