2.3 无符号数、有符号数与补码

第 2.2 节完成了不同底数之间的数值转换。但存入机器的比特模式不会自带“正数”或“负数”标签，硬件与软件必须共同约定一种整数编码（integer encoding）。

观察 8 位模式 11111111。它可以表示：

• 无符号整数 255；

• 符号-数值编码中的 −127；

• 反码中的负零；

• 补码整数 −1。

比特完全相同，改变的只是解释约定。

无符号整数把每一位都当作正位权

对于 $n$ 位无符号整数：

取值范围是：

因此，8 位无符号整数的范围是 0 到 255，最高位具有正权重 $2^7=128$。

字节计数、存储地址偏移等不会为负的量适合使用无符号编码，但仍要确认最大值足够。

三种表示正负号的方法

符号-数值编码

最高位表示符号：0 表示正，1 表示负；其余位保存绝对值。

在 8 位格式中：

• 00000101 表示 +5；

• 10000101 表示 −5；

• 00000000 与 10000000 都表示零。

两种零模式会增加比较与算术的复杂度。

反码

负数由对应正数模式逐位取反得到。

反码同样有两个零：全 0 表示正零，全 1 表示负零。

补码

负数由正数绝对值逐位取反后，在固定宽度内加 1 得到。

以 8 位 +5 为例：

所以 11111011 表示 −5。

补码只有一个零，而且同一套二进制加法器就能处理正负加法。现代处理器普遍采用补码表示有符号整数。

实验 1——保持比特不变，只改变解释约定

构造三个重要的 8 位模式，比较它们在无符号、符号-数值、反码与补码规则下的数值。

请特别观察全 1 模式和只有最高位为 1 的模式。这些边界模式能揭示不同编码的范围与零规则。

直接读取补码模式

对于 $n$ 位补码，最高位权重为 $-2^{n-1}$，其余低位仍保持正权重：

解码 11111011：

还有一个等价的快捷方法：

1. 先把整个模式解释为无符号数；

2. 如果最高位为 1，就减去 $2^n$。

11111011 的无符号值是 251，所以 $251-256=-5$。

不对称的取值范围

$n$ 位补码整数的范围是：

8 位范围为 −128 到 +127。负数比正数多一个，是因为零占用了一个非负模式。

−128 没有可用 8 位表示的正数对应值。在八位范围内对它取负仍会得到相同模式，因为 +128 已经越界。编写算术程序时必须注意这个边界。

实验 2——锻造负数补码

从 8 位绝对值出发，执行取反、加 1 或手工切换任意位，直到工作模式解码为目标负数。

完成普通数值后，再尝试 −1 与 −128，并解释为什么它们最终分别得到全 1 和 10000000。

改变宽度需要符号扩展

增加无符号数宽度时，在左侧补零：

增加补码数宽度时，需要在左侧复制符号位，这叫作符号扩展（sign extension）：

如果在负补码左侧补零，它的符号与数值都会改变。

缩短宽度只有在被删除的高位都是冗余符号扩展位时才安全。截断前必须先解码或检查范围。

检查点

请始终把“存储模式”和“解释规则”分开：

• 无符号编码只使用正的二次幂；

• 符号-数值编码分别保存符号与绝对值；

• 反码通过逐位取反形成负数，并有两个零；

• 补码通过取反加一形成负数，只有一个零，范围为 $-2^{n-1}$ 到 $2^{n-1}-1$。

下一节将研究算术结果无法装入固定宽度时会发生什么，并比较二进制整数、BCD 与字符编码。