2.4 溢出、BCD 与字符编码

上一节说明，同一个定长比特模式可以获得不同整数含义。本节继续追问两个相关问题：

1. 计算结果无法装入选定宽度时会发生什么？

2. 同一组比特如何表示十进制数字或文本，而不是二进制整数？

定长加法只保留可用比特

$n$ 位寄存器只能保存 $2^n$ 种模式。如果加法产生额外高位，寄存器无法保留它。

使用 4 位：

存回的结果是 0000，最前面的 1 作为最高位进位（carry out）报告。定长无符号算术因此按照模 $2^n$ 工作：

这种回绕是有限宽度的确定结果。它是否可接受，要由计算目的决定。

进位与有符号溢出回答不同问题

进位标志（Carry Flag，CF）表示无符号结果需要额外高位。

溢出标志（Overflow Flag，OF）表示补码有符号结果超出有符号范围。

有符号加法在以下情况发生溢出：

• 两个非负操作数得到负的解码结果；

• 两个负操作数得到非负的解码结果。

异号操作数相加不会溢出，因为数学和位于二者之间。

观察 4 位模式：

加法器产生的是同一组结果比特；采用哪种解释，决定软件应关注哪个标志。

实验 1——构造四种标志组合

把 4 位或 8 位操作数当作原始比特模式选择。实验会同时以无符号和补码方式解码每个操作数，并显示 CF 与 OF。

请完成全部四个任务，并把每个解法分别用无符号算术和有符号算术解释一次。

比特也可以编码十进制数字

二进制编码的十进制数（Binary-Coded Decimal，BCD）把每个十进制数字分别保存为一个 4 位二进制值。

十进制 59 被编码为：

组合后：

它不是数值 59 的普通二进制编码：

这里为了比较都显示为八位，但它们的分组含义不同。

合法 BCD 半字节从 0000 到 1001。1010 到 1111 这六个模式不能单独表示十进制数字。

当任务必须精确保留十进制数字时，例如某些金融、显示和传统接口场景，BCD 很有用。它的空间利用率低于纯二进制：一个十进制数字只有十种可能，却占用了具有十六种模式的 4 位空间。

字符编码把数值映射为符号

计算机也用数值保存文本。字符编码（character code）是数值代码与字符之间的共同约定。

ASCII 是一种基础的 7 位字符编码，通常保存在 8 位字节中。

字符 '5' 并不是数值整数 5：

如果软件用字符 '0' 的 ASCII 代码去减 '0' 到 '9' 的字符代码，就能得到对应数值数字。这个转换是程序操作，并不是存储器自动完成的性质。

现代文本使用 Unicode 覆盖许多书写系统，UTF-8 等编码再把 Unicode 码点转换为字节。本章只需掌握一般原则：接收方必须知道编码约定。

实验 2——修复 BCD 与 ASCII 传输

每个任务初始都有一位被翻转。请切换 BCD 半字节或 ASCII 字节，观察实时解码结果，并恢复目标消息。

修复后再故意翻转另一位，比较“产生非法 BCD 半字节”和“仍然合法但数字或字符悄悄改变”这两种错误。

表示元数据不可缺少

假设存储器中有 00110101。没有上下文时，它可能是：

• 无符号整数 53；

• 补码有符号整数 53；

• 两个 BCD 数字 3 和 5，表示十进制 35；

• ASCII 字符 '5'；

• 机器指令或其他数据结构的一部分。

存储器保存比特，而不保存含义。正在执行的指令、软件选择的数据类型、设备协议与共同编码约定共同提供含义。

第 2 章总结

现在，你已经能够：

• 把位权数展开为各位贡献；

• 在二、八、十、十六进制之间转换；

• 区分无符号、符号-数值、反码与补码解释；

• 分别判断无符号进位和有符号溢出；

• 识别 BCD 数字和 ASCII 字符字节。

第 3 章将从“表示”转向“硬件逻辑”：逻辑门与真值表会说明电路如何变换这些比特模式。