绝对值函数

绝对值函数

绝对值函数是一种特殊而常见的分段函数。

$$y=|x|=\begin{cases}x&x\ge0\\[.5em]-x&x<0\end{cases}$$

• 定义域：$x\in\mathbb{R}$
• 值域：$y\ge0$

互动实验

绝对值函数的图像变换

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调整伸缩和平移，再移动输入值，观察当前使用顶点哪一侧的表达式。

a · 纵向伸缩

1

h · 水平平移

0

k · 竖直平移

0

输入 x

1

$\displaystyle f(1)=1$

顶点：(0, 0) · x − h ≥ 0：取 x − h

初始图像为 y = |x|。a 为负时图像向下翻转，h 和 k 控制顶点位置。

知识测验

重做

题目

哪个值等于 $\displaystyle |-3|$？

A$\displaystyle -3$B$\displaystyle 0$C$\displaystyle 3$D未定义

 

定理

绝对值的性质

$$\begin{aligned} |ab|&=|a|\cdot|b|\\[.65em] \left|\dfrac ab\right|&=\dfrac{|a|}{|b|}\qquad(b\ne0)\\[.65em] \text{若 }|a|\le b,&\quad\text{则 }-b\le a\le b\\[.65em] \text{若 }|a|\ge b,&\quad\text{则 }a\ge b\text{ 或 }a\le-b\\[.65em] |a+b|&\le|a|+|b|\quad\text{（三角不等式）} \end{aligned}$$

其中 $a$、$b$ 为实数，商的性质要求 $b\ne0$。