不定积分

不定积分

怎样撤销求导这个运算？给定函数 $\displaystyle f(x)$，怎样找到一个函数 $\displaystyle F(x)$，使它的导数等于 $\displaystyle f(x)$？这样的函数称为 $\displaystyle f(x)$ 的原函数，我们用对应的大写字母 $\displaystyle F(x)$ 表示它。

也可以这样思考：“对哪个函数求导，才能得到给定的结果？”函数 $\displaystyle f(x)=2x$ 的一个原函数是 $\displaystyle x^2$。

那么 $\displaystyle F(x)=x^2+1$ 呢？它也满足要求！事实上，常数的导数为零，因此这里可以选择任意常数。所以我们把原函数写成一般形式 $\displaystyle x^2+C$。常数 $\displaystyle C$ 是原函数表达式中不可缺少的一部分。

求原函数的运算称为积分，记作：

它也称为函数 $\displaystyle f(x)$ 的不定积分，有时简称为 $\displaystyle f(x)$ 的积分。其中，$\displaystyle f(x)$ 称为被积函数。

刚才的例子比较简单。那么，怎样求更复杂表达式的原函数呢？与学习求导时类似，我们可以建立一组求原函数的法则：只需把熟悉的求导法则反过来思考。