极限基础

极限基础

设函数 $y=f(x)$。当 $x$ 趋近数 $a$ 时，$f(x)$ 的极限描述 $f(x)$ 所趋近的值，记为 $\lim\limits_{x\to a}f(x)$。

例如，求 $\lim\limits_{x\to3}x^2$。

$x$ 从左侧趋近 3	$x$ 从右侧趋近 3
$f(2.9)=8.41$	$f(3.1)=9.61$
$f(2.99)=8.9401$	$f(3.01)=9.0601$
$f(2.999)=8.994001$	$f(3.001)=9.006001$

无论从哪一侧趋近，当 $x$ 接近 3 时，$x^2$ 都接近 9。

互动实验

从两侧趋近

重置实验访问权限免费

先观察原例，再改变目标值。即使输出趋于同一值，两个输入也始终与目标值不同。

目标 a

3

接近程度 · 数值越大越接近

1

$\displaystyle h=10^{-1}=0.1$

趋近方向	$\displaystyle x$	$\displaystyle f(x)$
从左侧	2.9	8.41000000
从右侧	3.1	9.61000000

$\displaystyle \lim_{x\to 3}x^2=9$

知识测验

重做

题目

若 $\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=1$，但 $\displaystyle f(0)=-1$，则极限是多少？

A$\displaystyle 1$B$\displaystyle -1$C$\displaystyle 0$D极限不可能存在

 

动手练习

极限与函数值不同的情况

简单·5 分钟查看参考答案

求 $\displaystyle \lim\limits_{x\to0}f(x)$，其中

$\displaystyle f(x)=\begin{cases}\cos(x)&x\ne0\\[.4em]-1&x=0\end{cases}$

极限运算法则

定理

极限运算法则

假设 $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ 和 $\lim\limits_{x\to a}g(x)$ 均存在且为有限实数，则

$$\begin{aligned} \lim_{x\to a}(f+g)(x)&=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)\\[.65em] \lim_{x\to a}(f-g)(x)&=\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x)\\[.65em] \lim_{x\to a}(fg)(x)&=\lim_{x\to a}f(x)\cdot\lim_{x\to a}g(x)\\[.65em] \lim_{x\to a}\left(\frac fg\right)(x)&=\frac{\lim\limits_{x\to a}f(x)}{\lim\limits_{x\to a}g(x)} \end{aligned}$$

商的极限法则还要求 $\lim\limits_{x\to a}g(x)\ne0$。

这些法则只有在前提成立时才能使用。对于振荡函数，可以换一种思路：若一个函数位于两个趋于同一数值的界之间，它也必趋于该值。这就是夹逼定理。

动手练习

用夹逼定理求振荡函数的极限

中等·6 分钟查看参考答案

计算 $\displaystyle \lim\limits_{x\to0}x\sin\left(\frac1x\right)$。

单侧极限

$x$ 可以从两个方向趋近 $a$：

• 左极限：$\lim\limits_{x\to a^-}f(x)$
• 右极限：$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)$

对函数 $f(x)$，当 $x$ 趋于 $a$ 时，若 $f(x)$ 的左右极限都等于数 $L$，则称 $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ 存在并等于 $L$。

互动实验

比较左右极限

重置实验访问权限免费

初始设置对应练习函数。调整右侧分支的高度，使左右极限相等，再判断孤立的函数值是否影响极限。

右侧分支的竖直平移量

0

孤立点的值 f(1)

-1

接近程度 · 数值越大越接近

1

$\displaystyle h=10^{-1}=0.1$

趋近方向	$\displaystyle x$	$\displaystyle f(x)$
从左侧	0.9	0.90000000
从右侧	1.1	0.31622777

$\displaystyle \lim_{x\to1^-}f(x)=1,\qquad\lim_{x\to1^+}f(x)=0$

双侧极限不存在：左右极限不相等。

$\displaystyle f(1)=-1$

知识测验

重做

题目

已知 $\displaystyle \lim_{x\to a^-}f(x)=2$ 且 $\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=3$，可以得出什么结论？

A双侧极限不存在B双侧极限为 $\displaystyle 2$C双侧极限为 $\displaystyle 3$D双侧极限为 $\displaystyle 2.5$

 

动手练习

比较单侧极限

简单·6 分钟查看参考答案

考虑以下分段函数：

$\displaystyle f(x)=\begin{cases}x&x<1\\[.4em]-1&x=1\\[.4em]\sqrt{x-1}&x>1\end{cases}$

求下列各值，并判断双侧极限是否存在。

(a) $\displaystyle \lim\limits_{x\to1^-}f(x)$

(b) $\displaystyle \lim\limits_{x\to1^+}f(x)$

(c) $\displaystyle f(1)$

(d) $\displaystyle \lim\limits_{x\to1}f(x)$ 是否存在？