导数

可导性与连续性

函数在某点不可导的常见原因如下。这些只是示例，并非完整分类。

尖角

\displaystyle y=|x|

斜率突变

\displaystyle y=\frac23x,\quad0\le x\le\frac32

\displaystyle y=6x-8,\quad\frac32<x\le2

两条线段相接处的斜率发生突变。

渐近线

\displaystyle y=\frac1{x+1}

左右极限不相等

\displaystyle y=-0.7(x+1)+2,\quad x<-1

\displaystyle y=x^2-2,\quad x\ge-1

在这些情况下，差商在指定点没有有限的双侧极限，或函数本身在该点未定义。因此，函数在这些点不可导。

可导必连续，但连续不一定可导。反例是 $y=|x|$ ：它对所有实数 $x$ 都连续，却在 $x=0$ 处因尖角而不可导，两侧斜率不一致。

\displaystyle y=|x|

目标输入0接近程度 · 10 的幂次2

\displaystyle h=0.01,\quad m_-= -1,\quad m_+=1

零点处左斜率为 −1，右斜率为 1。函数连续，但导数不存在。

题目

关于

\displaystyle f(x)=|x|

在

\displaystyle x=0

处的性质，哪个说法正确？

讨论各标记输入值处的连续性与可导性。

\displaystyle y=0.7x,\quad x\le-3

\displaystyle y=e^x+1,\quad-3<x\le1

\displaystyle y=(x-3)^2+e-3,\quad x>1

(a) $\displaystyle x=2$

(b) $\displaystyle x=1$

◀ 上一节导数的定义下一节 ▶基本求导法则

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导数

可导性与连续性

函数在某点不可导的常见原因如下。这些只是示例，并非完整分类。

尖角

\displaystyle y=|x|

斜率突变

\displaystyle y=\frac23x,\quad0\le x\le\frac32

\displaystyle y=6x-8,\quad\frac32<x\le2

两条线段相接处的斜率发生突变。

渐近线

\displaystyle y=\frac1{x+1}

左右极限不相等

\displaystyle y=-0.7(x+1)+2,\quad x<-1

\displaystyle y=x^2-2,\quad x\ge-1

在这些情况下，差商在指定点没有有限的双侧极限，或函数本身在该点未定义。因此，函数在这些点不可导。

可导必连续，但连续不一定可导。反例是 $y=|x|$ ：它对所有实数 $x$ 都连续，却在 $x=0$ 处因尖角而不可导，两侧斜率不一致。

\displaystyle y=|x|

目标输入0接近程度 · 10 的幂次2

\displaystyle h=0.01,\quad m_-= -1,\quad m_+=1

零点处左斜率为 −1，右斜率为 1。函数连续，但导数不存在。

题目

关于

\displaystyle f(x)=|x|

在

\displaystyle x=0

处的性质，哪个说法正确？

讨论各标记输入值处的连续性与可导性。

\displaystyle y=0.7x,\quad x\le-3

\displaystyle y=e^x+1,\quad-3<x\le1

\displaystyle y=(x-3)^2+e-3,\quad x>1

(a) $\displaystyle x=2$

(b) $\displaystyle x=1$

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