1.6 对数函数与方程 - 微积分入门

对数函数

对数函数是指数函数的反函数。设 $a > 0$ 、 $a \ne 1$ ，且 $x > 0$ ，对数定义如下：

定理

对数函数

\begin{aligned} y & = \log_{\scriptscriptstyle a}(x) \\[0.65em] a^y & = x \end{aligned}

本课程中，未标明底数 $a$ 时，默认以 10 为底。

例如：

\log(x) = \log_{\scriptscriptstyle 10}(x)

任意正数的零次幂都等于 1，因此无论合法底数 $a$ 是多少，都有 $\log_{\scriptscriptstyle a}(1) = 0$ 。

调整以下函数的底数和输入： $\displaystyle y=\log_{\scriptscriptstyle a}(x)$ 。第二条曲线以原底数的倒数为底，比较它们在同一输入处的值。

\displaystyle y=\log_{\scriptscriptstyle 2}(x)

\displaystyle y=\log_{\scriptscriptstyle \frac{1}{2}}(x)

底数 a2输入 x1

\displaystyle \log_{\scriptscriptstyle 2}(1)=0

\displaystyle 2^{0}\approx 1

单调递增 · 定义域：x > 0

尝试 a = 2，再试 a = 0.5。a = 1 时会怎样？当 x = 1 时，所有合法底数的对数值都为零。

定义域： $0 < x < \infty$
值域： $y \in \mathbb{R}$
$y = \log_{\scriptscriptstyle a}(x)$ 的图像恒过 $(a, 1)$ 和 $(1, 0)$ 。
若 $a > 1$ ，则 $y = \log_{\scriptscriptstyle a}(x)$ 的图像单调递增。
若 $0 < a < 1$ ，则 $y = \log_{\scriptscriptstyle a}(x)$ 的图像单调递减。
$x = 0$ 始终是 $y = \log_{\scriptscriptstyle a}(x)$ 的竖直渐近线。

题目

哪个数不能作为实数对数的底数？

计算下列各式。

(a) $\displaystyle \log_{\scriptscriptstyle 2} 8$

(b) $\displaystyle \log(100)$

(d) $\displaystyle \log_{\scriptscriptstyle 8} 1$

对数运算法则

定理

对数运算法则

\begin{aligned} & \log_{\scriptscriptstyle a}(a^x) = x \\[0.65em] & a^{\log_{\scriptscriptstyle a}(x)} = x \\[0.65em] & \log_{\scriptscriptstyle a}(xy) = \log_{\scriptscriptstyle a}(x) + \log_{\scriptscriptstyle a}(y) \\[0.65em] & \log_{\scriptscriptstyle a}\left({\dfrac{x}{y}}\right) = \log_{\scriptscriptstyle a}(x) - \log_{\scriptscriptstyle a}(y) \\[0.65em] & \log_{\scriptscriptstyle a}(x^n) = n\log_{\scriptscriptstyle a}(x) \end{aligned}

换底公式

利用以下公式，可以在任意两个合法底数之间换算：

定理

换底公式

\begin{aligned} \log_{\scriptscriptstyle a}(x) = {\dfrac{\log_{\scriptscriptstyle b}(x)}{\log_{\scriptscriptstyle b}(a)}} \end{aligned}

这些对数法则要求 $x,y>0$ 、 $a,b>0$ 且 $a,b\ne1$ 。幂的对数法则中的 $n$ 可以是实数。

题目

当

\displaystyle x>0

时，哪个表达式等于

\displaystyle \log_{\scriptscriptstyle 4}(x)

？

证明换底公式。

在 $\displaystyle x>0$ 、 $\displaystyle a,b>0$ 且 $\displaystyle a,b\ne1$ 的条件下，证明 $\displaystyle \displaystyle \log_{\scriptscriptstyle a}(x)=\dfrac{\log_{\scriptscriptstyle b}(x)}{\log_{\scriptscriptstyle b}(a)}$ 。

将 $\displaystyle \log_{\scriptscriptstyle 4}(x)$ 分别换成以下底数的对数。

(a) 底数为 3

(b) 底数为 22

自然对数

自然对数是以 $e$ 为底的对数，通常将 $\log_{\scriptscriptstyle e}(x)$ 写为 $\ln(x)$ 。

自然对数具有与其他对数函数相同的运算性质。

定理

自然对数

\begin{aligned} & \ln(e^x) = x \\[0.65em] & e^{\ln(x)} = x \end{aligned}

题目

\displaystyle \log_{\scriptscriptstyle 2}(x^4)+\log_{\scriptscriptstyle 2}(x^2)=6

的全部实数解是什么？

解下列方程，求 $\displaystyle x$ 。

(a) $\displaystyle 2^x=2^{1-x}$

(b) $\displaystyle 3^{\frac12x+10}=27$

(d) $\displaystyle \log(x)-1=\log(x-1)$

(e) $\displaystyle \log_{\scriptscriptstyle 2}(x)+\log_{\scriptscriptstyle 2}(x^2)=6$

(f) $\displaystyle \log_{\scriptscriptstyle 2}(x^4)+\log_{\scriptscriptstyle 2}(x^2)=6$

对数函数

对数函数是指数函数的反函数。设 $a > 0$ 、 $a \ne 1$ ，且 $x > 0$ ，对数定义如下：

定理

对数函数

\begin{aligned} y & = \log_{\scriptscriptstyle a}(x) \\[0.65em] a^y & = x \end{aligned}

本课程中，未标明底数 $a$ 时，默认以 10 为底。

例如：

\log(x) = \log_{\scriptscriptstyle 10}(x)

任意正数的零次幂都等于 1，因此无论合法底数 $a$ 是多少，都有 $\log_{\scriptscriptstyle a}(1) = 0$ 。

调整以下函数的底数和输入： $\displaystyle y=\log_{\scriptscriptstyle a}(x)$ 。第二条曲线以原底数的倒数为底，比较它们在同一输入处的值。

\displaystyle y=\log_{\scriptscriptstyle 2}(x)

\displaystyle y=\log_{\scriptscriptstyle \frac{1}{2}}(x)

底数 a2输入 x1

\displaystyle \log_{\scriptscriptstyle 2}(1)=0

\displaystyle 2^{0}\approx 1

单调递增 · 定义域：x > 0

尝试 a = 2，再试 a = 0.5。a = 1 时会怎样？当 x = 1 时，所有合法底数的对数值都为零。

定义域： $0 < x < \infty$
值域： $y \in \mathbb{R}$
$y = \log_{\scriptscriptstyle a}(x)$ 的图像恒过 $(a, 1)$ 和 $(1, 0)$ 。
若 $a > 1$ ，则 $y = \log_{\scriptscriptstyle a}(x)$ 的图像单调递增。
若 $0 < a < 1$ ，则 $y = \log_{\scriptscriptstyle a}(x)$ 的图像单调递减。
$x = 0$ 始终是 $y = \log_{\scriptscriptstyle a}(x)$ 的竖直渐近线。

题目

哪个数不能作为实数对数的底数？

计算下列各式。

(a) $\displaystyle \log_{\scriptscriptstyle 2} 8$

(b) $\displaystyle \log(100)$

(d) $\displaystyle \log_{\scriptscriptstyle 8} 1$

对数运算法则

定理

对数运算法则

\begin{aligned} & \log_{\scriptscriptstyle a}(a^x) = x \\[0.65em] & a^{\log_{\scriptscriptstyle a}(x)} = x \\[0.65em] & \log_{\scriptscriptstyle a}(xy) = \log_{\scriptscriptstyle a}(x) + \log_{\scriptscriptstyle a}(y) \\[0.65em] & \log_{\scriptscriptstyle a}\left({\dfrac{x}{y}}\right) = \log_{\scriptscriptstyle a}(x) - \log_{\scriptscriptstyle a}(y) \\[0.65em] & \log_{\scriptscriptstyle a}(x^n) = n\log_{\scriptscriptstyle a}(x) \end{aligned}

换底公式

利用以下公式，可以在任意两个合法底数之间换算：

定理

换底公式

\begin{aligned} \log_{\scriptscriptstyle a}(x) = {\dfrac{\log_{\scriptscriptstyle b}(x)}{\log_{\scriptscriptstyle b}(a)}} \end{aligned}

这些对数法则要求 $x,y>0$ 、 $a,b>0$ 且 $a,b\ne1$ 。幂的对数法则中的 $n$ 可以是实数。

题目

当

\displaystyle x>0

时，哪个表达式等于

\displaystyle \log_{\scriptscriptstyle 4}(x)

？

证明换底公式。

将 $\displaystyle \log_{\scriptscriptstyle 4}(x)$ 分别换成以下底数的对数。

(a) 底数为 3

(b) 底数为 22

自然对数

自然对数是以 $e$ 为底的对数，通常将 $\log_{\scriptscriptstyle e}(x)$ 写为 $\ln(x)$ 。

自然对数具有与其他对数函数相同的运算性质。

定理

自然对数

\begin{aligned} & \ln(e^x) = x \\[0.65em] & e^{\ln(x)} = x \end{aligned}

题目

\displaystyle \log_{\scriptscriptstyle 2}(x^4)+\log_{\scriptscriptstyle 2}(x^2)=6

的全部实数解是什么？

解下列方程，求 $\displaystyle x$ 。

(a) $\displaystyle 2^x=2^{1-x}$

(b) $\displaystyle 3^{\frac12x+10}=27$

(d) $\displaystyle \log(x)-1=\log(x-1)$

(e) $\displaystyle \log_{\scriptscriptstyle 2}(x)+\log_{\scriptscriptstyle 2}(x^2)=6$

(f) $\displaystyle \log_{\scriptscriptstyle 2}(x^4)+\log_{\scriptscriptstyle 2}(x^2)=6$

对数函数与方程

对数函数

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探索对数与底数

知识测验

计算对数

对数运算法则

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换底公式

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知识测验

证明换底公式

对数换底

自然对数

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对数函数

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对数运算法则

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换底公式

换底公式

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对数换底

自然对数

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