导数

对数求导法

对数求导法可用于更复杂的表达式。已有法则能快速求出 $x^5$ 、 $e^{4x}$ 和 $2^x$ 的导数，但 $x^x$ 应如何求导？

列表描绘 $\displaystyle f(x)=x^x$ 的图像。将列出的负输入值画成独立的实数点，不要将它们连成连续曲线。

对 $x^x$ ，在 $x=0$ 附近的极限问题中会出现未定式 $0^0$ 。虽然它的右极限为 1，本课程仍不定义零点处的函数值。由于 $x<0$ 时实数定义域较复杂，求导时通常只考虑 $x>0$ 。

如何求出其导数？对方程两边取自然对数，利用对数法则化简，然后进行隐函数求导。

\displaystyle y=x^x,\quad x>0

\displaystyle T(t)=1+(1)(t-(1))

正输入 x1

\displaystyle \ln y=x\ln x,\qquad y'=x^x(\ln x+1)

\displaystyle f(1)=1,\quad f'(1)=1

在极小值点 x = 1/e 处，斜率改变符号。

原资料的题目为 $\displaystyle y=(\cos(\pi x))^{2x}$ ，但解答计算的是 $\displaystyle y=x^x$ 。请分别求导，并区分两个结果。

若 $\displaystyle y = \left(\cos(\pi x)\right)^{2x}$ ，求 $\displaystyle \dfrac{dy}{dx}$ 。

乘积、商与绝对值

考虑下列表达式：

y=\frac{(x-2)^2(3x+1)^3\sqrt{x^2+2}}{(x-1)(x+10)^{10}}

反复使用乘积法则和商法则会很繁琐，也容易出错。对数可以简化计算。先取绝对值后，只要 $y\ne0$ ，无论 $y$ 为正还是为负，都能使用 $\ln|y|$ 。

题目

当

\displaystyle x>0

时，

\displaystyle x^x

的导数是什么？

若 $\displaystyle y = {\dfrac{(x-2)^2(3x+1)^3\sqrt{x^2+2}}{(x-1)(x+10)^{10}}}$ ，求 $\displaystyle \dfrac{dy}{dx}$ 。

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导数

对数求导法

对数求导法可用于更复杂的表达式。已有法则能快速求出 $x^5$ 、 $e^{4x}$ 和 $2^x$ 的导数，但 $x^x$ 应如何求导？

列表描绘 $\displaystyle f(x)=x^x$ 的图像。将列出的负输入值画成独立的实数点，不要将它们连成连续曲线。

如何求出其导数？对方程两边取自然对数，利用对数法则化简，然后进行隐函数求导。

\displaystyle y=x^x,\quad x>0

\displaystyle T(t)=1+(1)(t-(1))

正输入 x1

\displaystyle \ln y=x\ln x,\qquad y'=x^x(\ln x+1)

\displaystyle f(1)=1,\quad f'(1)=1

在极小值点 x = 1/e 处，斜率改变符号。

原资料的题目为 $\displaystyle y=(\cos(\pi x))^{2x}$ ，但解答计算的是 $\displaystyle y=x^x$ 。请分别求导，并区分两个结果。

若 $\displaystyle y = \left(\cos(\pi x)\right)^{2x}$ ，求 $\displaystyle \dfrac{dy}{dx}$ 。

乘积、商与绝对值

考虑下列表达式：

y=\frac{(x-2)^2(3x+1)^3\sqrt{x^2+2}}{(x-1)(x+10)^{10}}

反复使用乘积法则和商法则会很繁琐，也容易出错。对数可以简化计算。先取绝对值后，只要 $y\ne0$ ，无论 $y$ 为正还是为负，都能使用 $\ln|y|$ 。

题目

当

\displaystyle x>0

时，

\displaystyle x^x

的导数是什么？

若 $\displaystyle y = {\dfrac{(x-2)^2(3x+1)^3\sqrt{x^2+2}}{(x-1)(x+10)^{10}}}$ ，求 $\displaystyle \dfrac{dy}{dx}$ 。

对数求导法