分类讨论法

分类讨论法

考虑以下例子：$\displaystyle \dfrac{x-3}{x-1}<10$

不能直接交叉相乘，因为 $x-1$ 不一定为正。如果两边乘以 $x-1$，对于某些 $x$ 值就需要改变不等号方向。该如何处理？

互动实验

观察分母的符号变化

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$\displaystyle \frac{x-3}{x-1}<10$

默认阈值对应下方例题。改变阈值，再分别测试 x = 1 两侧的点。

输入 x

0

右侧阈值

10

情况 2：分母为负，相乘时将 < 改为 >。

$\displaystyle -3>-10$

原左侧表达式的值： 3.000 · 满足 该不等式。

每种情况的解还必须满足求解时所用的符号假设。

1. 分成两种情况。

2. 在每种假设下求解原不等式。

3. 求假设条件与所得解集的交集。

4. 将两种情况的解集取并集。

$$x\in(1,\infty)\cup\left(-\infty,\dfrac79\right)$$

知识测验

重做

题目

为什么 $\displaystyle \dfrac{x-3}{x-1}<10$ 必须排除 $\displaystyle x=1$？

A它使分子为零B它使分母为零C所有有理不等式都排除 $\displaystyle 1$D它大于 $\displaystyle \dfrac79$

 

动手练习

用分类讨论法解有理不等式

中等·10 分钟查看参考答案

求满足 $\displaystyle \displaystyle \dfrac{7x-2}{1-2x}\ge4$ 的所有 $\displaystyle x$。