定积分

定积分

以下各式均假设 $\displaystyle k$、$\displaystyle a$、$\displaystyle b$、$\displaystyle c$ 为常数，且 $\displaystyle a<b<c$；函数 $\displaystyle f$ 和 $\displaystyle g$ 在积分区间上可积。

定理

定积分

$\displaystyle \begin{aligned}\int_a^b k \ dx = (b - a)k\end{aligned}$

定理

定积分

$\displaystyle \begin{aligned}\int_a^a f(x) \ dx = 0\end{aligned}$

定理

定积分

$\displaystyle \begin{aligned}\int_b^a f(x) \ dx = -\int_a^b f(x) \ dx\end{aligned}$

定理

定积分

$\displaystyle \begin{aligned}\int_a^c f(x) \ dx = \int_a^b f(x) \ dx + \int_b^c f(x) \ dx\end{aligned}$

定理

定积分

$\displaystyle \begin{aligned}\int_a^b kf(x) \ dx = k \int_a^b f(x) \ dx\end{aligned}$

定理

定积分

$\displaystyle \begin{aligned}\int_a^b (f(x) \pm g(x)) \ dx = \int_a^b f(x) \ dx \pm \int_a^b g(x) \ dx\end{aligned}$

动手练习

计算定积分

中等·20 分钟查看参考答案

计算下列定积分。

(a)

$\displaystyle \int_1^2 {1 \over t} \ dt$

(b)

$\displaystyle \int_{-2}^1 x^3 \ dx$

(c)

$\displaystyle \int_1^5 s(s^2 + 1) \ ds$

(d)

$\displaystyle \int_{\sqrt{\ln(2)}}^{\sqrt{\ln(4)}} xe^{x^2} \ dx$

(e)

$\displaystyle \int_x^{x^2} \sin(t) \ dt$

(f)

$\displaystyle \int_5^{13} (x + 1)\sqrt{2x - 1} \ dx$

互动实验

移动上下限，改变积分符号

重置实验访问权限免费

调整上下限与常数倍。试着让两端点重合、交换顺序，或把 k 设为负数；观察带符号的定积分和阴影面积的区别。

下限 a

1

上限 b

4

k

1

$\displaystyle \int_{1}^{4} 1f(x)\,dx=6.596973$

阴影的几何面积: 6.596973

知识测验

重做

题目

若 $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=3$，则 $\displaystyle \int_b^a f(x)\,dx$ 等于多少？

A$\displaystyle 0$B$\displaystyle 6$C$\displaystyle -3$D$\displaystyle 3$