导数

基本求导法则

函数变复杂后，直接使用导数定义计算会很繁琐。我们可以根据函数形式使用更快捷的求导法则，这些法则都由导数定义推导而来。

函数类型指数3

\displaystyle f(x)=x^{3}

\displaystyle f'(x)=3x^{2}

输入 x1

\displaystyle f(1)=1,\qquad f'(1)=3

三角函数的输入以弧度计。超出图像窗口的值仍可在数值区域查看。

幂函数求导法则

定理

幂函数求导法则

若 $f(x)=x^n$ ，则在实数幂函数可导处有 $f'(x)=nx^{n-1}$ 。对任意实数 $n$ ，该法则适用于 $x>0$ ；整数幂在其定义域的其他可导处也适用。

求 $\displaystyle f(x) = x^7$ 的导数。

常数的导数

定理

常数的导数

若 $f(x)=k$ ，则 $f'(x)=0$ 。从图像看，常数函数是一条水平直线，斜率为零。

求 $\displaystyle f(x) = 672$ 的导数。

对数函数的导数

定理

对数函数的导数

当 $x>0$ 、 $a>0$ 且 $a\ne1$ 时，

\begin{aligned} \frac{d}{dx}\log_{\scriptscriptstyle a} x&=\frac1{x\ln a}\\[.65em] \frac{d}{dx}\ln x&=\frac{d}{dx}\log_{\scriptscriptstyle e} x=\frac1{x\ln e}=\frac1x \end{aligned}

求 $\displaystyle f(x) = \log_{\scriptscriptstyle 4}(x)$ 的导数。

指数函数的导数

定理

指数函数的导数

当 $a>0$ 时，

\begin{aligned} \frac{d}{dx}a^x&=a^x\ln a\\[.65em] \frac{d}{dx}e^x&=e^x\ln e=e^x \end{aligned}

$a=1$ 的情况也成立，此时导数为零。

三角函数的导数

定理

三角函数的导数

角以弧度计，各公式仅适用于相应函数的定义域。

\begin{aligned} \frac{d}{dx}\sin x&=\cos x\\[.65em] \frac{d}{dx}\csc x&=-\csc x\cot x\\[.65em] \frac{d}{dx}\cos x&=-\sin x\\[.65em] \frac{d}{dx}\sec x&=\sec x\tan x\\[.65em] \frac{d}{dx}\tan x&=\sec^2x\\[.65em] \frac{d}{dx}\cot x&=-\csc^2x \end{aligned}

记忆提示：英文名称以“c”开头的三角函数，其导数都带负号。

题目

当

\displaystyle x>0

时，

\displaystyle \dfrac{d}{dx}\log_{\scriptscriptstyle 4}x

等于什么？

求 $\displaystyle f(x) = 5^x$ 的导数。

◀ 上一节可导性与连续性下一节 ▶求导法则的组合

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导数

基本求导法则

函数变复杂后，直接使用导数定义计算会很繁琐。我们可以根据函数形式使用更快捷的求导法则，这些法则都由导数定义推导而来。

函数类型指数3

\displaystyle f(x)=x^{3}

\displaystyle f'(x)=3x^{2}

输入 x1

\displaystyle f(1)=1,\qquad f'(1)=3

三角函数的输入以弧度计。超出图像窗口的值仍可在数值区域查看。

幂函数求导法则

定理

幂函数求导法则

若 $f(x)=x^n$ ，则在实数幂函数可导处有 $f'(x)=nx^{n-1}$ 。对任意实数 $n$ ，该法则适用于 $x>0$ ；整数幂在其定义域的其他可导处也适用。

求 $\displaystyle f(x) = x^7$ 的导数。

常数的导数

定理

常数的导数

若 $f(x)=k$ ，则 $f'(x)=0$ 。从图像看，常数函数是一条水平直线，斜率为零。

求 $\displaystyle f(x) = 672$ 的导数。

对数函数的导数

定理

对数函数的导数

当 $x>0$ 、 $a>0$ 且 $a\ne1$ 时，

\begin{aligned} \frac{d}{dx}\log_{\scriptscriptstyle a} x&=\frac1{x\ln a}\\[.65em] \frac{d}{dx}\ln x&=\frac{d}{dx}\log_{\scriptscriptstyle e} x=\frac1{x\ln e}=\frac1x \end{aligned}

求 $\displaystyle f(x) = \log_{\scriptscriptstyle 4}(x)$ 的导数。

指数函数的导数

定理

指数函数的导数

当 $a>0$ 时，

\begin{aligned} \frac{d}{dx}a^x&=a^x\ln a\\[.65em] \frac{d}{dx}e^x&=e^x\ln e=e^x \end{aligned}

$a=1$ 的情况也成立，此时导数为零。

三角函数的导数

定理

三角函数的导数

角以弧度计，各公式仅适用于相应函数的定义域。

\begin{aligned} \frac{d}{dx}\sin x&=\cos x\\[.65em] \frac{d}{dx}\csc x&=-\csc x\cot x\\[.65em] \frac{d}{dx}\cos x&=-\sin x\\[.65em] \frac{d}{dx}\sec x&=\sec x\tan x\\[.65em] \frac{d}{dx}\tan x&=\sec^2x\\[.65em] \frac{d}{dx}\cot x&=-\csc^2x \end{aligned}

记忆提示：英文名称以“c”开头的三角函数，其导数都带负号。

题目

当

\displaystyle x>0

时，

\displaystyle \dfrac{d}{dx}\log_{\scriptscriptstyle 4}x

等于什么？

求 $\displaystyle f(x) = 5^x$ 的导数。

◀ 上一节可导性与连续性下一节 ▶求导法则的组合

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