逆用链式法则

逆用链式法则

函数 $\displaystyle f(u(x))$ 的导数是 $\displaystyle f'(u(x))u'(x)$，因此

定理

逆用链式法则

$\displaystyle \begin{aligned}\int f'(u(x))u'(x) \ dx = f(u(x)) + C\end{aligned}$

注意，积分后 $\displaystyle u'(x)$ 这一因子消失了，它被吸收回 $\displaystyle f(u(x))$ 中。求复合函数的原函数时，可以按下面的步骤进行：

1. 找出内层函数 $\displaystyle u(x)$。

2. 求内层函数的导数 $\displaystyle u'(x)$。

3. 找出外层函数 $\displaystyle f'$，对 $\displaystyle f'$ 积分，同时保留内部的 $\displaystyle u(x)$。

动手练习

逆用链式法则积分

中等·12 分钟查看参考答案

求下列不定积分。

(a)

$\displaystyle \int (6x^2 + 1)\sin(2x^3 + x) \ dx$

(b)

$\displaystyle \int \sec^2(4t) \ dt$

(c)

$\displaystyle \int 4x^3(3x^4 - 1)^{14} \ dx$

(d)

$\displaystyle \int {e^{1 \over x} \over 4x^2} \ dx$

动手练习

一步积分

中等·4 分钟查看参考答案

一步求出下列不定积分。

$\displaystyle \int e^{-2t} + \sin(3t) + \cos\left({1 \over 4}t\right) \ dt$

知识测验

重做

题目

$\displaystyle \int\sec^2(4t)\,dt$ 等于哪一项？

A$\displaystyle -\tfrac14\cot(4t)+C$B$\displaystyle \tfrac14\tan(4t)+C$C$\displaystyle 4\tan(4t)+C$D$\displaystyle \tan(4t)+C$