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微积分入门

第 1 章：函数

1.1 函数 1.2 角、角度与弧度 1.3 三角函数 1.4 特殊三角形与三角恒等式 1.5 指数函数 1.6 对数函数与方程

第 2 章：不等式

2.1 分段函数 2.2 绝对值函数 2.3 区间与不等式求解 2.4 分类讨论法 2.5 数轴法

第 3 章：极限与连续性

3.1 极限基础 3.2 连续性与间断点 3.3 未定式极限的计算 3.4 正弦的重要极限 3.5 无穷远处的极限

第 4 章：导数

4.1 导数的定义 4.2 可导性与连续性 4.3 基本求导法则 4.4 求导法则的组合 4.5 链式法则与高阶导数 4.6 隐函数求导 4.7 相关变化率 4.8 对数求导法 4.9 微分近似

第 5 章：原函数与积分

5.1 不定积分 5.2 基本积分法则 5.3 三角、指数与对数积分 5.4 逆用链式法则 5.5 换元积分法 5.6 黎曼和 5.7 定积分 5.8 曲线围成的面积

原函数与积分

换元积分法

换元积分法

换元积分法的思路是：通过变量代换，把关于一个变量的较难积分，转化成关于另一个变量的较容易积分。

定理

换元积分法

\displaystyle \begin{aligned}\int f'(u(x)) \ {du \over dx} \, dx = \int f'(u) \ du\end{aligned}

动手练习

换元积分的步骤

中等·8 分钟

使用换元积分法。

\displaystyle \int (6x + 4)(3x^2 + 4x)^5 \ dx

动手练习

换元积分练习

中等·25 分钟

用换元积分法计算。

(a)

\displaystyle \int \sin(x)e^{5\cos(x)} \ dx

(b)

\displaystyle \int {x \over (5x + 7)^3} \ dx

(c)

\displaystyle \int x\sec(3x^2)\tan(3x^2) \ dx

(d)

\displaystyle \int {-{1 \over t^2} + 1 \over \sqrt{{1 \over t} + t}} \ dt

(e)

\displaystyle \int (1 + 900x)^{1/15000} \ dx

(f)

\displaystyle \int \sin(\theta)(\cos^3\theta - \cos^5\theta) \ d\theta

(g)

\displaystyle \int {7x \over 4x^2 + 9} \ dx

(h)

\displaystyle \int (2x + 5) \cdot \sqrt[3]{3x + 1} \ dx

知识测验

题目

若

\displaystyle u=5x+7

，

\displaystyle x\,dx

应怎样换元？

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