1.3 三角函数 - 微积分入门

三角函数

设 $O$ 为原点， $P(x, y)$ 为单位圆上的一点，半径 $OP$ 与 x 轴正方向的夹角为 $\theta$ 弧度。

观察单位圆上的 P 点。蓝色表示余弦，红色表示正弦；在有定义时，x = 1 处的绿色切线给出 tan(θ)。

θ（度）45

\displaystyle \theta=45^\circ=0.785\ \text{rad}

\displaystyle \cos(\theta)=0.707

\displaystyle \sin(\theta)=0.707

\displaystyle \tan(\theta)=1

尝试 0°、45° 与 90°，比较投影和正切。

定理

正弦与余弦

\begin{aligned} & x = \cos(\theta) \\[0.65em] & y = \sin(\theta) \end{aligned}

以下是三种最常见的三角函数及其倒数函数。

\displaystyle y=\sin(x)

性质	$y=\sin(\theta)$
定义域	$\theta\in\mathbb{R}$
值域	$-1\le\sin(\theta)\le1$
零点	$\theta=k\pi$

其中 $k\in\mathbb{Z}$ 。

\displaystyle y=\cos(x)

性质	$y=\cos(\theta)$
定义域	$\theta\in\mathbb{R}$
值域	$-1\le\cos(\theta)\le1$
零点	$\theta=(2k+1)\pi/2$

其中 $k\in\mathbb{Z}$ 。

\displaystyle y=\tan(x)

性质	$y=\tan(\theta)$
定义域	$\theta\in\mathbb{R},\ \theta\ne(2k+1)\pi/2$
值域	$\tan(\theta)\in\mathbb{R}$
零点	$\theta=k\pi$

其中 $k\in\mathbb{Z}$ 。

题目

当

\displaystyle y=\sin(x)

变成

\displaystyle y=\sin(2x)

时，周期如何变化？

探索 $\displaystyle y=A\,\sin(Bx+C)+D$ 。每次改变一个参数，将彩色曲线与原图像比较。虚线表示竖直渐近线。

函数

\displaystyle y=\sin(x)\quad\text{（参考）}

\displaystyle y=\sin(x)

A · 纵向伸缩1B · 频率因子1C · 相位（弧度）0D · 竖直平移0输入 x（弧度）0

\displaystyle f(0)=0

振幅 = 1.0 · 周期 = 6.283 · 水平平移量 = 0.000

比较正弦与正切。将 B 加倍并观察周期，再让 x 趋近正切的渐近线，观察输出。

余割、正割与余切

在相应表达式有定义的地方， $\csc(\theta)=1/\sin(\theta)$ 、 $\sec(\theta)=1/\cos(\theta)$ ，且 $\cot(\theta)=1/\tan(\theta)$ 。

\displaystyle y=\csc(x)

性质	$y=\csc(\theta)$
定义域	$\theta\in\mathbb{R},\ \theta\ne k\pi$
值域	$\csc(\theta)\le-1$ 或 $\csc(\theta)\ge1$
零点	无

其中 $k\in\mathbb{Z}$ 。

\displaystyle y=\sec(x)

性质	$y=\sec(\theta)$
定义域	$\theta\in\mathbb{R},\ \theta\ne(2k+1)\pi/2$
值域	$\sec(\theta)\le-1$ 或 $\sec(\theta)\ge1$
零点	无

其中 $k\in\mathbb{Z}$ 。

\displaystyle y=\cot(x)

性质	$y=\cot(\theta)$
定义域	$\theta\in\mathbb{R},\ \theta\ne k\pi$
值域	$\cot(\theta)\in\mathbb{R}$
零点	$\theta=(2k+1)\pi/2$

其中 $k\in\mathbb{Z}$ 。

题目

为什么

\displaystyle \csc(0)

没有定义？

探索 $\displaystyle y=A\,\csc(Bx+C)+D$ 。每次改变一个参数，将彩色曲线与原图像比较。虚线表示竖直渐近线。

函数

\displaystyle y=\csc(x)\quad\text{（参考）}

\displaystyle y=\csc(x)

A · 纵向伸缩1B · 频率因子1C · 相位（弧度）0D · 竖直平移0输入 x（弧度）0

\displaystyle f(0)=\text{未定义}

纵向伸缩系数 = 1.0 · 周期 = 6.283 · 水平平移量 = 0.000

此输入使分母为零，因此不属于定义域。

比较各图像的间断位置与分母的零点。移动 C 可平移被排除的输入，改变 B 可调整各分支之间的距离。

三角函数

设 $O$ 为原点， $P(x, y)$ 为单位圆上的一点，半径 $OP$ 与 x 轴正方向的夹角为 $\theta$ 弧度。

观察单位圆上的 P 点。蓝色表示余弦，红色表示正弦；在有定义时，x = 1 处的绿色切线给出 tan(θ)。

θ（度）45

\displaystyle \theta=45^\circ=0.785\ \text{rad}

\displaystyle \cos(\theta)=0.707

\displaystyle \sin(\theta)=0.707

\displaystyle \tan(\theta)=1

尝试 0°、45° 与 90°，比较投影和正切。

定理

正弦与余弦

\begin{aligned} & x = \cos(\theta) \\[0.65em] & y = \sin(\theta) \end{aligned}

以下是三种最常见的三角函数及其倒数函数。

\displaystyle y=\sin(x)

性质	$y=\sin(\theta)$
定义域	$\theta\in\mathbb{R}$
值域	$-1\le\sin(\theta)\le1$
零点	$\theta=k\pi$

其中 $k\in\mathbb{Z}$ 。

\displaystyle y=\cos(x)

性质	$y=\cos(\theta)$
定义域	$\theta\in\mathbb{R}$
值域	$-1\le\cos(\theta)\le1$
零点	$\theta=(2k+1)\pi/2$

其中 $k\in\mathbb{Z}$ 。

\displaystyle y=\tan(x)

性质	$y=\tan(\theta)$
定义域	$\theta\in\mathbb{R},\ \theta\ne(2k+1)\pi/2$
值域	$\tan(\theta)\in\mathbb{R}$
零点	$\theta=k\pi$

其中 $k\in\mathbb{Z}$ 。

题目

当

\displaystyle y=\sin(x)

变成

\displaystyle y=\sin(2x)

时，周期如何变化？

探索 $\displaystyle y=A\,\sin(Bx+C)+D$ 。每次改变一个参数，将彩色曲线与原图像比较。虚线表示竖直渐近线。

函数

\displaystyle y=\sin(x)\quad\text{（参考）}

\displaystyle y=\sin(x)

A · 纵向伸缩1B · 频率因子1C · 相位（弧度）0D · 竖直平移0输入 x（弧度）0

\displaystyle f(0)=0

振幅 = 1.0 · 周期 = 6.283 · 水平平移量 = 0.000

比较正弦与正切。将 B 加倍并观察周期，再让 x 趋近正切的渐近线，观察输出。

余割、正割与余切

在相应表达式有定义的地方， $\csc(\theta)=1/\sin(\theta)$ 、 $\sec(\theta)=1/\cos(\theta)$ ，且 $\cot(\theta)=1/\tan(\theta)$ 。

\displaystyle y=\csc(x)

性质	$y=\csc(\theta)$
定义域	$\theta\in\mathbb{R},\ \theta\ne k\pi$
值域	$\csc(\theta)\le-1$ 或 $\csc(\theta)\ge1$
零点	无

其中 $k\in\mathbb{Z}$ 。

\displaystyle y=\sec(x)

性质	$y=\sec(\theta)$
定义域	$\theta\in\mathbb{R},\ \theta\ne(2k+1)\pi/2$
值域	$\sec(\theta)\le-1$ 或 $\sec(\theta)\ge1$
零点	无

其中 $k\in\mathbb{Z}$ 。

\displaystyle y=\cot(x)

性质	$y=\cot(\theta)$
定义域	$\theta\in\mathbb{R},\ \theta\ne k\pi$
值域	$\cot(\theta)\in\mathbb{R}$
零点	$\theta=(2k+1)\pi/2$

其中 $k\in\mathbb{Z}$ 。

题目

为什么

\displaystyle \csc(0)

没有定义？

探索 $\displaystyle y=A\,\csc(Bx+C)+D$ 。每次改变一个参数，将彩色曲线与原图像比较。虚线表示竖直渐近线。

函数

\displaystyle y=\csc(x)\quad\text{（参考）}

\displaystyle y=\csc(x)

A · 纵向伸缩1B · 频率因子1C · 相位（弧度）0D · 竖直平移0输入 x（弧度）0

\displaystyle f(0)=\text{未定义}

纵向伸缩系数 = 1.0 · 周期 = 6.283 · 水平平移量 = 0.000

此输入使分母为零，因此不属于定义域。

比较各图像的间断位置与分母的零点。移动 C 可平移被排除的输入，改变 B 可调整各分支之间的距离。

三角函数

三角函数

从单位圆读取正弦、余弦与正切

正弦与余弦

知识测验

正弦、余弦与正切的图像变换

余割、正割与余切

知识测验

探索余割、正割与余切

三角函数

三角函数

从单位圆读取正弦、余弦与正切

正弦与余弦

知识测验

正弦、余弦与正切的图像变换

余割、正割与余切

知识测验

探索余割、正割与余切