基本积分法则

基本积分法则

求导的幂法则是先乘以指数，再把指数减一。反过来，就应先把指数加一，再除以新的指数。

逆向幂法则

定理

逆向幂法则

$\displaystyle \begin{aligned}\int x^n \ dx = {x^{n+1} \over n+1} + C,\quad\text{其中 }n \ne -1\end{aligned}$

动手练习

幂与根式的积分

简单·8 分钟查看参考答案

求下列不定积分。

(a)

$\displaystyle \int x^6 \ dx$

(b)

$\displaystyle \int \sqrt[4]{t} \ dt$

(c)

$\displaystyle \int {1 \over x^{5/3}} \ dx$

零的原函数

定理

零的原函数

$\displaystyle \begin{aligned}\int 0 \ dx = C\end{aligned}$

常数的原函数

定理

常数的原函数

$\displaystyle \begin{aligned}\int k \ dx = kx + C,\quad\text{其中 }k\text{ 为任意常数}\end{aligned}$

动手练习

常数的积分

简单·2 分钟查看参考答案

求下列不定积分。

$\displaystyle \int \pi \ dx$

常数倍法则

定理

常数倍法则

$\displaystyle \begin{aligned}\int kf(x) \ dx = k \int f(x) \ dx\end{aligned}$

动手练习

常数倍的积分

简单·5 分钟查看参考答案

求下列不定积分。

(a)

$\displaystyle \int 4x^7 \ dx$

(b)

$\displaystyle \int {\pi \over \sqrt{t}} \ dt$

和与差的法则

定理

和与差的法则

$\displaystyle \begin{aligned}\int (f(x) \pm g(x)) \ dx = \int f(x) \ dx \pm \int g(x) \ dx\end{aligned}$

动手练习

和与差的积分

简单·6 分钟查看参考答案

求下列不定积分。

(a)

$\displaystyle \int (3x^2 + 5) \ dx$

(b)

$\displaystyle \int \left({1 \over x^3} - {2 \over x^2}\right) \ dx$

知识测验

重做

题目

$\displaystyle \int(3x^2+5)\,dx$ 等于哪一个表达式？

A$\displaystyle 6x+C$B$\displaystyle x^3+5+C$C$\displaystyle 3x^3+5x+C$D$\displaystyle x^3+5x+C$