黎曼和

黎曼和

假设要计算直线下方、x 轴上方，在 $\displaystyle x=a$ 与 $\displaystyle x=b$ 之间的面积。因为我们已经知道基本几何图形的面积公式，所以很容易求出这个面积。

但是，如果换成一般曲线 $\displaystyle y=f(x)$，怎样求出曲线下方、x 轴上方，在 $\displaystyle x=a$ 与 $\displaystyle x=b$ 之间的面积呢？

伯恩哈德·黎曼的想法是：用一组长方形来逼近所求区域，并用它们的面积估计真实面积。这种求和称为黎曼和，具体步骤如下：

1. 作一个分割 $\displaystyle P$，把区间 $\displaystyle [a,b]$ 分成 n 个小区间 $\displaystyle I_1,I_2,\dots,I_n$。

2. 在每个小区间 $\displaystyle I_k$ 内选择一个 x 值，记作 $\displaystyle x_k$。

3. 对每个选出的 $\displaystyle x_k$，画一个高为 $\displaystyle f(x_k)$、宽为小区间 $\displaystyle I_k$ 的长度（$\displaystyle \Delta x_k$）的长方形。

第 $\displaystyle k$ 个长方形的面积为：

所有长方形的总面积为：

动手练习

估计正弦曲线下的面积

中等·8 分钟查看参考答案

用黎曼和估计曲线 $\displaystyle y=\sin({1 \over 2}x)$ 下方、x 轴上方，在 $\displaystyle x=0$ 与 $\displaystyle x=2\pi$ 之间的面积。把区间等分为 4 个小区间，并选择右端点。

那么，把长方形变得更窄时，会发生什么？

随着长方形宽度减小，面积估计逐渐趋于准确。那么，如果让分割中所有长方形的宽度都趋近于 0，会发生什么？

用符号表示：

我们应当得到精确面积，也就是说，结果不再只是一个估计值。

记号上，我们用下面的写法表示这个极限：

定理

定积分

$\displaystyle \begin{aligned}\int_{x = a}^{b} f(x) \ dx\end{aligned}$

互动实验

让长方形逼近曲线下面积

重置实验访问权限免费

从原题的 4 个右端点长方形开始，逐渐增加数量。切换取样位置，比较黎曼和、精确面积与误差。有限次细分不一定让误差每一步都变小，但当最大宽度趋于零时，这些连续函数的黎曼和会趋于精确积分。

原稿曲线正弦曲线波动曲线取样点左端点中点右端点长方形数量 n

4

$\displaystyle \Delta x=1.57080,\qquad S_{4}=3.792238$

精确面积: 4.000000 · 绝对误差: 0.207762

知识测验

重做

题目

对于连续曲线，什么条件使黎曼和趋于定积分？

A只让第一个长方形变窄。B所有长方形必须是正方形。C长方形数量保持不变。D所有小区间中的最大宽度趋于零。