导数的定义

导数的定义

直线方程为 $y=mx+b$，其中 $b$ 是纵截距，$m$ 是斜率。利用直线上横坐标不同的两点 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$，便可计算斜率。

定理

斜率

当 $x_1\ne x_2$，即 $h\ne0$ 时，

$$\begin{aligned} m&=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\[.65em] &=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{f(x+h)-f(x)}h \end{aligned}$$

互动实验

从割线到切线

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让第二个点从任一侧趋近固定点。绿线是切线，蓝线连接两个点。

固定输入 x

0.5

水平变化量 h

1

$\displaystyle \frac{f(0.5+(1))-f(0.5)}{1}=2$

$\displaystyle f'(0.5)=2(0.5)=1$

如果让第二个点进一步靠近 $(x,f(x))$，会怎样？

随着 $h$ 的绝对值减小，点 $(x+h,f(x+h))$ 趋近 $(x,f(x))$。在导数存在处，割线斜率趋于切线斜率。数学上可写为：

定理

导数的定义

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h$$

如果此极限是有限数，其值便等于切线斜率，也就是 $f$ 在 $(x,f(x))$ 处的瞬时变化率。这个特殊的极限称为导数。

若 $y=f(x)$，导数有以下几种记法：

$$\frac{dy}{dx}\qquad y'\qquad f'(x)$$

若 $f$ 在 $(a,f(a))$ 处有导数，就称它在 $x=a$ 处可导。这要求差商的左右极限均为有限数且相等：

定理

导数定义：单侧斜率

$$\lim_{h\to0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}h =\lim_{h\to0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}h$$

知识测验

重做

题目

对 $\displaystyle f(x)=x^2$，$\displaystyle \displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(3+h)-f(3)}h$ 表示什么？

A切线斜率 $\displaystyle 6$B函数值 $\displaystyle 9$C$\displaystyle h=1$ 时的割线斜率D因为 $\displaystyle h=0$ 而未定义的极限

 

动手练习

用定义求两个函数的导数

中等·12 分钟查看参考答案

用导数定义求下列函数的导数。

(a) $\displaystyle f(x)=x^2$

(b) $\displaystyle f(x)=\sqrt{x+2}$

动手练习

求倒数函数在 5 处的斜率

简单·5 分钟查看参考答案

用导数定义求 $\displaystyle f(x) = {\dfrac{1}{x}}$ 在 $\displaystyle x = 5$ 处的导数。