角、角度与弧度

角

具有公共端点的两条射线构成一个角。通常用希腊字母 $\theta$ 表示角。

从 x 轴正方向逆时针旋转形成的角为正角。

从 x 轴正方向顺时针旋转形成的角为负角。

角度与弧度

角有两种常用度量方式：

• 一度是完整一周的 $\dfrac{\displaystyle 1}{360}$ 所对应的角。

• 一弧度是弧长等于半径时所对应的圆心角。

定理

弧度

$$\begin{aligned} \theta = {\dfrac{s}{r}} = {\dfrac{\text{弧长}}{\text{半径}}} \end{aligned}$$

弧度和角度有什么关系？

互动实验

用弧长度量角

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弧度比较弧长与半径。固定角度并改变半径：弧长随之增大，但二者之比保持不变。

角度（度）

60

半径 r

2

$\displaystyle |\theta|=\frac{s}{r}=\frac{2.094}{2}=1.047\ \text{rad}$
$\displaystyle \theta=60^\circ=1.047\ \text{rad}$

尝试将 r 加倍，再比较 180° 与 −180°。弧长非负，角的符号则表示逆时针或顺时针旋转。

定理

角度与弧度

$$\begin{aligned} & 180^\circ = \pi \,\text{弧度} \\[0.65em] & 1^\circ = {\dfrac{\pi}{180}} \,\text{弧度} \\[0.65em] & 1 \,\text{弧度} = {\dfrac{180}{\pi}}^\circ \end{aligned}$$

利用这一关系，可以在两种度量之间换算。

给定角 $\theta$，哪些角与它具有相同的终边？

定理

终边相同的角

$$\begin{aligned} & \theta + 2k\pi \ (k \in \mathbb{Z}) \end{aligned}$$

知识测验

重做

题目

哪个角与 $\displaystyle 30^\circ$ 终边相同？

A$\displaystyle 60^\circ$B$\displaystyle 150^\circ$C$\displaystyle 210^\circ$D$\displaystyle 390^\circ$

 

动手练习

角度换算为弧度

简单·5 分钟查看参考答案

将角度换算为弧度。

(a) $\displaystyle 30^\circ$

(b) $\displaystyle 220^\circ$

动手练习

弧度换算为角度

简单·5 分钟查看参考答案

将弧度换算为角度。

(a) $\displaystyle \displaystyle \dfrac{\pi}{4}$

(b) $\displaystyle \displaystyle \dfrac{5\pi}{6}$