3.3 未定式极限的计算 - 微积分入门

未定式极限的计算

函数在间断点附近不一定趋于

\pm\infty

。例如计算

\lim\limits_{x\to3}\dfrac{x^2-x-6}{x-3}

，代入

x=3

得到

0/0

，称为未定式。

可以先尝试因式分解。约去分子、分母的因式

x-3

后，表达式等于

f(x)=x+2

，但在

x=3

处有空点，因为原函数在

x=3

处仍然没有定义。

\displaystyle y=\frac{x^2-x-6}{x-3}=x+2,\quad x\ne3

\displaystyle \frac{x^2-x-6}{x-3}=\frac{(x-3)(x+2)}{x-3}=x+2\quad(x\ne3)

接近程度 · 数值越大越接近1

\displaystyle h=10^{-1}=0.1

趋近方向	$\displaystyle x$	$\displaystyle f(x)$
从左侧	2.9	4.90000000
从右侧	3.1	5.10000000

尝试直接代入 x = 3

原分式从两侧都趋于 5。虽然在 3 处没有函数值，极限仍然存在。

两个表达式在

x\ne3

时相等，这足以计算

x

趋于 3 时的极限。约分不会使原函数在 3 处获得定义。

分子含平方根时，可以乘以共轭式；出现复分式时，可先对分子通分。下面的练习涵盖这三种方法。

题目

直接代入一个商得到

\displaystyle \dfrac00

，这说明什么？

求下列极限。

(a) $\displaystyle \lim\limits_{x\to3}\dfrac{x^2-x-6}{x-3}$

(b) $\displaystyle \lim\limits_{x\to-1}\dfrac{x^3-11x^2+8x+20}{x+1}$

(d) $\displaystyle \lim\limits_{x\to2}\dfrac{\dfrac1{x-4}+\dfrac12}{x-2}$

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未定式极限的计算

函数在间断点附近不一定趋于

\pm\infty

。例如计算

\lim\limits_{x\to3}\dfrac{x^2-x-6}{x-3}

，代入

x=3

得到

0/0

，称为未定式。

可以先尝试因式分解。约去分子、分母的因式

x-3

后，表达式等于

f(x)=x+2

，但在

x=3

处有空点，因为原函数在

x=3

处仍然没有定义。

\displaystyle y=\frac{x^2-x-6}{x-3}=x+2,\quad x\ne3

\displaystyle \frac{x^2-x-6}{x-3}=\frac{(x-3)(x+2)}{x-3}=x+2\quad(x\ne3)

接近程度 · 数值越大越接近1

\displaystyle h=10^{-1}=0.1

趋近方向	$\displaystyle x$	$\displaystyle f(x)$
从左侧	2.9	4.90000000
从右侧	3.1	5.10000000

尝试直接代入 x = 3

原分式从两侧都趋于 5。虽然在 3 处没有函数值，极限仍然存在。

两个表达式在

x\ne3

时相等，这足以计算

x

趋于 3 时的极限。约分不会使原函数在 3 处获得定义。

分子含平方根时，可以乘以共轭式；出现复分式时，可先对分子通分。下面的练习涵盖这三种方法。

题目

直接代入一个商得到

\displaystyle \dfrac00

，这说明什么？

求下列极限。

(a) $\displaystyle \lim\limits_{x\to3}\dfrac{x^2-x-6}{x-3}$

(b) $\displaystyle \lim\limits_{x\to-1}\dfrac{x^3-11x^2+8x+20}{x+1}$

(d) $\displaystyle \lim\limits_{x\to2}\dfrac{\dfrac1{x-4}+\dfrac12}{x-2}$

未定式极限的计算

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附近函数值相同，定义域不同

知识测验

因式分解、有理化与化简

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