指数函数

指数函数

指数函数的形式为 $y = a^x$，其中 $a > 0$、$a \ne 1$，$x$ 为任意实数。人口增长、经济增长、全球温度与货币价值等问题中都可能出现这类函数。

• 定义域：$x \in \mathbb{R}$

• 值域：$y > 0$

• 图像 $y = a^x$ 恒过 $(0, 1)$ 和 $(1, a)$。

• 若 $a > 1$，则 $y = a^x$ 的图像单调递增。

• 若 $0 < a < 1$，则 $y = a^x$ 的图像单调递减。

• $y = 0$ 始终是 $y = a^x$ 的水平渐近线。

指数运算法则

自然常数 e

一个特殊的指数函数是 $y = e^x$。其中 $e$ 与 $\pi$ 一样，是具有无限不循环小数展开的常数。

以 $e$ 为底的指数函数有什么特殊之处？

图像上任一点的函数值，都等于该点处切线的斜率。

被排除的底数 $a=1$ 对应常数函数 $y=1$。以上指数法则取 $a,b>0$，根指数为正整数。