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微积分入门

第 1 章：函数

1.1 函数 1.2 角、角度与弧度 1.3 三角函数 1.4 特殊三角形与三角恒等式 1.5 指数函数 1.6 对数函数与方程

第 2 章：不等式

2.1 分段函数 2.2 绝对值函数 2.3 区间与不等式求解 2.4 分类讨论法 2.5 数轴法

第 3 章：极限与连续性

3.1 极限基础 3.2 连续性与间断点 3.3 未定式极限的计算 3.4 正弦的重要极限 3.5 无穷远处的极限

第 4 章：导数

4.1 导数的定义 4.2 可导性与连续性 4.3 基本求导法则 4.4 求导法则的组合 4.5 链式法则与高阶导数 4.6 隐函数求导 4.7 相关变化率 4.8 对数求导法 4.9 微分近似

第 5 章：原函数与积分

5.1 不定积分 5.2 基本积分法则 5.3 三角、指数与对数积分 5.4 逆用链式法则 5.5 换元积分法 5.6 黎曼和 5.7 定积分 5.8 曲线围成的面积

原函数与积分

三角、指数与对数积分

三角、指数与对数积分

三角函数

定理

三角函数

\displaystyle \begin{aligned}\int \sin(x) \ dx & = -\cos(x) + C \\ \int \cos(x) \ dx & = \sin(x) + C \\ \int \csc^2(x) \ dx & = -\cot(x) + C \\ \int \sec^2(x) \ dx & = \tan(x) + C \\ \int \sec(x)\tan(x) \ dx & = \sec(x) + C \\ \int \csc(x)\cot(x) \ dx & = -\csc(x) + C\end{aligned}

指数与对数函数

定理

指数与对数函数

指数函数要求 a>0；对数公式还要求 a≠1，且积分区间不包含 x=0。

\displaystyle \begin{aligned}\int a^x\ln(a) \ dx & = a^x + C \\ \int e^x\ln(e) \ dx & = e^x + C \\ \int {1 \over x\ln(a)} \ dx & = \log_{\scriptscriptstyle a}|x| + C \\ \int {1 \over x} \ dx & = \ln|x| + C\end{aligned}

动手练习

指数与对数积分

简单·6 分钟

求下列不定积分。

(a)

\displaystyle \int 4^x\ln(4) + 5e^x - {6 \over x} \ dx

(b)

\displaystyle \int 3^z \ dz

有时需要先对被积表达式做一些变形，才能应用积分法则。

动手练习

先化简再积分

简单·8 分钟

求下列不定积分。

(a)

\displaystyle \int {2s^3 - 5s^4 \over 3s^2} \ ds

(b)

\displaystyle \int \left({1 \over x} + {1 \over x^2}\right)\left(3 + 2x^2\right) \ dx

知识测验

题目

在不包含零的区间上，

\displaystyle \int 1/x\,dx

等于什么？

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