2.3 区间与不等式求解 - 微积分入门

不等式与区间表示法

解方程时，可能得到一个解，也可能得到多个满足方程的解。

例如 $3x-5=1$ ，只有一个值满足方程。

而对于 $x^2-1=3$ ，则有多个值满足方程。

不等式表示法如 $1\le x<3$ ，用 $\le$ 和 $\ge$ 表示包含端点，用 $<$ 和 $>$ 表示不包含端点。

另一种是区间表示法，例如 $x\in[1,3)$ 。方括号表示包含端点，圆括号表示不包含端点。

无穷符号 $\infty$ 所在的一端始终使用圆括号。

移动端点并改变括号，观察端点标记与不等式同步变化。

左端点1右端点3

包含左端点包含右端点

区间:

\displaystyle [1,\,3)

\displaystyle 1 \le x < 3

两端点相等时，只有两端均包含才得到单点集；否则为空区间。

题目

哪个区间表示

\displaystyle 1\le x<3

？

用区间表示下列各组条件。

(a) $\displaystyle 2\le x\le7$

(b) $\displaystyle x<9$

用不等式表示下列各区间。

(a) $\displaystyle x\in[3,6)$

(b) $\displaystyle x\in(-2,4)$

并集与交集

取值范围可能互不相连。用并集符号 $\cup$ 表示属于任意一个范围的所有值。例如 $[-1,4)\cup[7,10)$ 表示 $-1\le x<4$ 或 $7\le x<10$ 。

交集符号 $\cap$ 只保留各区间共有的值。例如 $[-1,6)\cap(2,7)$ 等于 $(2,6)$ 。

改变端点，比较并集（属于任一区间）与交集（同时属于两个区间）。

A · 左端点-1A · 右端点4

包含左端点（A）包含右端点（A）

\displaystyle [-1,\,4)

B · 左端点7B · 右端点10

包含 B 的左端点包含 B 的右端点

\displaystyle [7,\,10)

运算

A ∪ B:

\displaystyle [-1,\,4)\cup[7,\,10)

\displaystyle A\cup B=[-1,\,4)\cup[7,\,10)

若区间仅在一点相接，先检查是否包含该点，再判断它们能否合并或相交。

题目

\displaystyle [0,2]\cap(2,4)

等于什么？

用区间表示下列各组条件。

(a) $\displaystyle \displaystyle -3\le x<\dfrac12$ 或 $\displaystyle 4<x<7$

(b) $\displaystyle 1\le x<5$ 或 $\displaystyle 3\le x<7$

用区间表示下列各组条件。

(a) $\displaystyle -2<x\le6$ 且 $\displaystyle 0<x<7$

(b) $\displaystyle x\in[0,5]\cap[3,5]$

解不等式

解不等式时，需要遵守以下规则：

对不等式一侧进行加、减、乘、除操作时，另一侧也必须进行相同操作。
两边乘以或除以负数时，必须改变不等号方向。
若两边同为正数或同为负数，可以同时取倒数，但必须改变不等号方向。

除以零没有定义；乘以零会丢失信息，因此不能得到等价不等式。

从 2 < 5 出发，两边同乘一个因子。

乘数1

\displaystyle 2<5

乘数为正：保持不等号方向。

尝试乘以 −1，再经过零点。不能除以零。

题目

将

\displaystyle -2x\le6

两边同除以

\displaystyle -2

，得到什么？

求满足下列条件的所有 $\displaystyle x$ 。

(a) $\displaystyle -6x+7\ge8x$

(b) $\displaystyle \displaystyle -\dfrac52<4-2x\le1$

(d) $\displaystyle 3x^2+2<-4$

(e) $\displaystyle \sqrt{x-1}>4$

(f) $\displaystyle \log_{\scriptscriptstyle 2}(3x)\le-3$

不等式与区间表示法

解方程时，可能得到一个解，也可能得到多个满足方程的解。

例如 $3x-5=1$ ，只有一个值满足方程。

而对于 $x^2-1=3$ ，则有多个值满足方程。

不等式表示法如 $1\le x<3$ ，用 $\le$ 和 $\ge$ 表示包含端点，用 $<$ 和 $>$ 表示不包含端点。

另一种是区间表示法，例如 $x\in[1,3)$ 。方括号表示包含端点，圆括号表示不包含端点。

无穷符号 $\infty$ 所在的一端始终使用圆括号。

移动端点并改变括号，观察端点标记与不等式同步变化。

左端点1右端点3

包含左端点包含右端点

区间:

\displaystyle [1,\,3)

\displaystyle 1 \le x < 3

两端点相等时，只有两端均包含才得到单点集；否则为空区间。

题目

哪个区间表示

\displaystyle 1\le x<3

？

用区间表示下列各组条件。

(a) $\displaystyle 2\le x\le7$

(b) $\displaystyle x<9$

用不等式表示下列各区间。

(a) $\displaystyle x\in[3,6)$

(b) $\displaystyle x\in(-2,4)$

并集与交集

取值范围可能互不相连。用并集符号 $\cup$ 表示属于任意一个范围的所有值。例如 $[-1,4)\cup[7,10)$ 表示 $-1\le x<4$ 或 $7\le x<10$ 。

交集符号 $\cap$ 只保留各区间共有的值。例如 $[-1,6)\cap(2,7)$ 等于 $(2,6)$ 。

改变端点，比较并集（属于任一区间）与交集（同时属于两个区间）。

A · 左端点-1A · 右端点4

包含左端点（A）包含右端点（A）

\displaystyle [-1,\,4)

B · 左端点7B · 右端点10

包含 B 的左端点包含 B 的右端点

\displaystyle [7,\,10)

运算

A ∪ B:

\displaystyle [-1,\,4)\cup[7,\,10)

\displaystyle A\cup B=[-1,\,4)\cup[7,\,10)

若区间仅在一点相接，先检查是否包含该点，再判断它们能否合并或相交。

题目

\displaystyle [0,2]\cap(2,4)

等于什么？

用区间表示下列各组条件。

(a) $\displaystyle \displaystyle -3\le x<\dfrac12$ 或 $\displaystyle 4<x<7$

(b) $\displaystyle 1\le x<5$ 或 $\displaystyle 3\le x<7$

用区间表示下列各组条件。

(a) $\displaystyle -2<x\le6$ 且 $\displaystyle 0<x<7$

(b) $\displaystyle x\in[0,5]\cap[3,5]$

解不等式

解不等式时，需要遵守以下规则：

对不等式一侧进行加、减、乘、除操作时，另一侧也必须进行相同操作。
两边乘以或除以负数时，必须改变不等号方向。
若两边同为正数或同为负数，可以同时取倒数，但必须改变不等号方向。

除以零没有定义；乘以零会丢失信息，因此不能得到等价不等式。

从 2 < 5 出发，两边同乘一个因子。

乘数1

\displaystyle 2<5

乘数为正：保持不等号方向。

尝试乘以 −1，再经过零点。不能除以零。

题目

将

\displaystyle -2x\le6

两边同除以

\displaystyle -2

，得到什么？

求满足下列条件的所有 $\displaystyle x$ 。

(a) $\displaystyle -6x+7\ge8x$

(b) $\displaystyle \displaystyle -\dfrac52<4-2x\le1$

(d) $\displaystyle 3x^2+2<-4$

(e) $\displaystyle \sqrt{x-1}>4$

(f) $\displaystyle \log_{\scriptscriptstyle 2}(3x)\le-3$

区间与不等式求解

不等式与区间表示法

包含或排除端点

知识测验

用区间表示解集

用不等式表示区间

并集与交集

在数轴上组合区间

知识测验

求区间的并集

求区间的交集

解不等式

何时改变不等号方向？

知识测验

解六个不等式

区间与不等式求解

不等式与区间表示法

包含或排除端点

知识测验

用区间表示解集

用不等式表示区间

并集与交集

在数轴上组合区间

知识测验

求区间的并集

求区间的交集

解不等式

何时改变不等号方向？

知识测验

解六个不等式