连续性与间断点

连续性

有些极限可以直接代入求值，有些却不行！

如果以下条件全部成立，就称函数在点 $a$ 处连续：

1. $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ 存在。
2. $f(a)$ 有定义。
3. $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$

间断点

常见的间断类型：

无穷间断点

$y=\frac1{x+1}$ 在 $x=-1$ 处有无穷间断点（原资料称为“essential”）：附近的函数值无界。

可去间断点

可去间断点表现为空点：极限存在，但函数值缺失或不等于极限。此正弦曲线移除了 $x=1$ 处的点。

跳跃间断点

若左右极限均有限但不相等，就出现跳跃间断点。此三段函数在 $x=-2$ 和 $x=2$ 处发生跳跃。

如果 $f(x)$ 在 $a$ 处连续，计算 $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ 很容易。如果不连续，极限仍然可能存在。

当极限写为 $\infty$ 或 $-\infty$ 时，表示函数沿特定方向无限增大或减小。无穷不是有限实数极限，也不是除以零所得的值。