4.7 相关变化率 - 微积分入门

相关变化率

隐函数求导也能联系随时间变化的量。梯子例子使用长度不变的关系：

x^2+y^2=10^2

其中

x

为梯子底端到墙的距离，

y

为顶端高度，两者都随时间变化。对同一个变量

t

求导：

2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0

向下运动意味着

\dfrac{dy}{dt}<0

；

\dfrac{dx}{dt}

为正则表示底端正在远离墙面。

\displaystyle x^2+y^2=10^2

高度 y（米）8下滑速度（米/秒）0.5

\displaystyle \frac{dy}{dt}=-0.5\,\mathrm{m/s},\quad \frac{dx}{dt}=0.666667\,\mathrm{m/s}

\displaystyle \frac{d\theta}{dt}=-0.083333\,\mathrm{rad/s}

底端远离墙面时，夹角减小。控件避开梯子竖直的位置，因为该处公式的分母为零。

题目

梯子长度固定，且

\displaystyle x>0

、

\displaystyle y>0

、

\displaystyle \dfrac{dy}{dt}<0

。

\displaystyle \dfrac{dx}{dt}

的符号是什么？

一架长 $\displaystyle 10\,\mathrm m$ 的梯子靠在竖直墙上。

(a) 梯子顶端以 $\displaystyle 0.5\,\mathrm{m/s}$ 的速度下滑。当顶端距地面 $\displaystyle 8\,\mathrm m$ 时，底端移动速度是多少？

(b) 此时梯子与地面夹角的变化率是多少？

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